Serie de Laurent y residuo de $f(x)=\frac{1}{1+e^z}$

Question

Estoy teniendo problemas al intentar expandir esta función utilizando la serie de Laurent, y encontrar el residuo $$f(x)=\frac{1}{1+e^z}$$ Si reemplazo $e^z$ con su serie obtengo $$f(x)=\frac{1}{1+\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}}$$ y la expansión es $$\frac{1}{2}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\frac{z^2}{n!}}+...$$ que no es útil para encontrar el residuo en el punto o puntos de singularidad $z_0=(2k+1)\pi i$ .

¿Cuál sería una expansión adecuada, o hay otra manera de resolver esto?

edit:arreglado el diseño de la fórmula de suma

Answer 1

Puede utilizar el fórmula para encontrar los residuos de un polo $z_0$ de orden $1$ :

$$\text{Res}(f, z_0)=\lim \limits_{z\to z_0}\left[(z-z_0)f(z)\right].$$

Las singularidades aquí son los puntos $(2k+1)\pi i$ , donde $k$ se extiende sobre los números enteros.

Para utilizar la fórmula anterior hay que demostrar primero que estos puntos son polos de orden $1$ es decir, hay que demostrar que estos puntos no son discontinuidades removibles y hay que demostrar que $\lim \limits_{z\to (2k+1)\pi i}\left(\dfrac{z-(2k+1)\pi i}{e^z+1}\right)\in \mathbb C$ . Este límite es en realidad el mismo que en la fórmula anterior, así que si lo encuentras, inmediatamente encuentras tu residuo.

Uno tiene $$\begin{align} \lim \limits_{z\to (2k+1)\pi i}\left(\dfrac{z-(2k+1)\pi i}{e^z+1}\right)&=\lim \limits_{w\to 0}\left(\dfrac{w}{e^{w+(2k+1)\pi i}+1}\right)\\ &=\lim \limits_{w\to 0}\left(\dfrac{w}{e^{w+\pi i}+1}\right)\\ &=\lim \limits_{w\to 0}\left(\dfrac{1}{e^{w+\pi i}}\right)\\ &=-1. \end{align}$$

Por lo tanto, $\forall k\in \mathbb Z\left(\text{Res}(f,(2k+1)\pi i)=-1\right)$ que está de acuerdo con Wolfram Alpha .

En lo anterior he utilizado la regla de Cauchy. Si se quiere evitar sin tener que recurrir a las series de Laurent, se puede demostrar primero que $\lim \limits_{w\to 0}\left(\dfrac{e^{w+\pi i}+1}w\right)=1$ y esto se puede hacer con la Serie Taylor.

Answer 2

Como explicó Git, hay que calcular $$\lim_{z\to (2k+1)\pi i}\dfrac{z-(2k+1)\pi i}{e^z+1} \,.$$ La forma más rápida de hacerlo es observar que $$\lim_{z\to (2k+1)\pi i}\dfrac{e^z+1}{z-(2k+1)\pi i} \,.$$ es sólo la definición de la derivada de $e^z$ en $z=(2k+1)\pi i$ . Así, $$\lim_{z\to (2k+1)\pi i}\dfrac{e^z+1}{z-(2k+1)\pi i}=e^{(2k+1)\pi i}=-1$$

Answer 3

Entendiendo que sólo quieres algunos coeficientes para empezar: usando Pari/GP

1/(1+exp(x)) + O(x^8)
%693 = 1/2 - 1/4*x + 1/48*x^3 - 1/480*x^5 + 17/80640*x^7 + O(x^8)

que también es $$ = {1 \over 2} - {1 \over 4} {x \over 1!} + {1 \over 8} {x^3 \over 3!} - {1 \over 4} {x^5 \over 5!}+ {17 \over 16} {x^7 \over 7!} - {31 \over 4} {x^9 \over 9!}+ {691 \over 8} {x^11 \over 11!} - ... $$