Un simple problema de colisión con una solución no tan simple (para mí). Me vendría bien algo de ayuda.

Question

Sé que se trata de un problema de Física y que la Física es bastante sencilla, pero la ecuación que tengo que resolver parece un poco más difícil de lo que preveía. Tengo curiosidad por saber si hay un enfoque diferente para resolver este problema matemáticamente y/o una solución más sencilla.

Supongamos que tengo dos partículas puntuales, la partícula 1 está en el origen $(0,0)$ y la partícula 2 está en $(x_0, y_0)$ . La partícula 1 viaja a la velocidad de la luz $c$ (para este problema ignoramos la relatividad especial). La partícula 2 viaja con una velocidad constante $(v_{x_0}, v_{y_0})$ . Sabemos que las partículas colisionarán en algún lugar desconocido $(x, y)$ . Así que nuestro objetivo es resolver para $x$ y $y$ . A continuación se muestra una imagen de la situación.

Podemos utilizar ecuaciones cinemáticas simples para describir el movimiento de la partícula 2: $$x = x_0 + v_{x_0}t$$ $$y = y_0 + v_{y_0}t$$ Sabemos que colisionarán, lo que significa que deben colisionar en el tiempo que tarda la partícula 1 en viajar al punto $(x,y)$ que es descrito por: $$t = \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}$$

Introduciendo esto en nuestras dos ecuaciones anteriores obtenemos lo siguiente: $$x = x_0 + v_{x_0}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}$$ $$y = y_0 + v_{y_0}\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{c}$$

He introducido las dos ecuaciones en Wolfram y me he quedado sin tiempo de cálculo. Me pregunto si hay alguna otra forma de resolver este problema. ¿Son correctos mi proceso de pensamiento y mis ecuaciones finales? Si alguien puede arrojar algo de luz sobre mi problema, le estaría muy agradecido.

Answer 1

En lugar de intentar calcular el punto de colisión directamente, calcula el tiempo de colisión (como comentó Rahul). Utilizando la fórmula de la distancia que has utilizado, resuelve $$(x_0+v_{x_0}t)^2+(y_0+v_{y_0}t)^2 = c^2t^2$$ para $t$ , tomar la solución menos negativa, y sustituirla en las ecuaciones de movimiento de la partícula 2.

Answer 2

Dado que la partícula 1 está viajando en una dirección desconocida, su enfoque es correcto.

De lo contrario, sólo sería una ecuación lineal.

Yo eliminaría la raíz cuadrada de tu ecuación final, ya que podría confundir a Wolfram. Podría asumir variables complejas y entonces ya no se pueden aplicar las reglas simples conocidas de la raíz cuadrada real.

Usted obtiene

$\left(\frac{x - x_0}{v_{x_0}/c}\right)^2 = x^2 + y^2$

$\left(\frac{y - y_0}{v_{y_0}/c}\right)^2 = x^2 + y^2$

que es un sistema de dos ecuaciones cuadráticas en dos variables. Se resuelve resolviendo una ecuación para una variable y enchufando el resultado en otra. Puede que Wolfram te dé la solución cuando enchufes las dos ecuaciones anteriores, o que lo hagas a mano.

Sin embargo, obtendrá múltiples soluciones, que deberá comprobar si son correctas. Esto se debe a que la operación de cuadratura introduce nuevas soluciones.

Answer 3

Toma un botín ak la siguiente imagen:

La partícula 1 comienza en $A=(0.0)$ , la partícula 2 comienza en $B=(x_0,y_0)$ . Particale 2 viaja con velocidad $\lvert v \rvert$ en la dirección dada por $v$ . Ambas partículas se encuentran en el punto $C=(x,y)$ que se desconoce.

Tenga en cuenta que el valor de $\beta=\angle ABC$ es fijo y se puede calcular, es el ángulo entre las líneas de paso $A$ y $B$ y el vector velocidad $v$ . Si el tiempo que tardan las partículas en encontrarse es $t$ tenemos

$$\overline{AC}=ct, \quad \overline{BC}=\lvert v\rvert t$$

De esto se deduce por la ley del seno

$$\frac{\sin \alpha}{\sin{\beta}} = \frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} = \frac{\lvert v\rvert}{c},$$

Esto significa que $\sin \alpha$ puede ser calculado por lo que se da. Bajo el supuesto de que $\lvert v\rvert < c$ (un poco de física), se puede demostrar que $\alpha$ debe ser el menor (< $90°$ ) de los 2 valores de $[0,180°]$ que tiene ese valor de seno.

Como ahora conocemos 2 valores de ángulos interiores del triángulo $ABC$ podemos calcular el restante $\gamma$ en $C$ a través de $\alpha + \beta + \gamma = 180°$ y finalmente aplicar la ley del seno de nuevo para calcular $\overline{BC}$ :

$$\overline{BC}=\overline{AB}\frac{\sin \alpha}{\sin \gamma}$$ y por lo tanto

$$ C = B + \overline{BC}\frac{v}{\lvert v \rvert}.$$