¿Paradoja magnética en la relatividad?

Question

Permitamos que 2 electrones A y B se muevan en paralelo con velocidad constante $c/10$ en el vacío (casi) sin un campo gravitacional fuerte (donde $c$ es la velocidad de la luz).

A y B crean un campo electromagnético que es proporcional a su velocidad. Pero luego el observador A mide (aproximadamente) la velocidad de ambos, A y B, y de igual manera el observador B mide (aproximadamente) la velocidad de ambos, A y B.

A y B se influencian mutuamente debido al campo electromagnético de forma diferente que si estuvieran quietos.

Suponiendo que no cometí ningún error, ¿esto no viola la relatividad ya que:

1. Las leyes de la física son las mismas para todos los observadores en movimiento uniforme unos respecto de otros (principio de relatividad).
2. La velocidad de la luz en el vacío es la misma para todos los observadores, independientemente de su movimiento relativo o del movimiento de la fuente de luz.

¿Dónde me equivoqué? ¿Se mueven los electrones mutuamente debido al campo y eso me hace perder la noción de movimiento uniforme relativo unos respecto a otros de manera que la ley no se aplica? ¿O estaba equivocado acerca de la dependencia con la velocidad en relación con el magnetismo y la electricidad (y la regla de la mano derecha) si se utiliza una corrección de dilatación del tiempo?

En mi pregunta elegí $c/10$ para evitar efectos relativistas muy fuertes (como con $c/2) de manera que el electromagnetismo clásico aún sea bastante útil.

Estoy confundido aquí.

¿Cómo explicar esta aparente paradoja?

Answer 1

Esto debería estar en physics.SE, pero aquí va:

En el marco del laboratorio, cada electrón se mueve en el campo magnético del otro electrón, lo que crea una atracción magnética entre ellos. Por lo tanto, se verá que se alejan el uno del otro más lento de lo que la repulsión de Coulomb dictaría. (Nota, incidentalmente, que la "repulsión de Coulomb" de todas maneras no sería toda la historia -- el campo eléctrico instantáneo de una carga en movimiento difiere del campo de una carga estacionaria en el mismo lugar).

En el marco de reposo (inicial) de los electrones, no hay fuerza magnética, solo la repulsión de Coulomb, por lo que los electrones se alejan el uno del otro más rápido que en el marco del laboratorio.

¿Cómo conciliar esos dos cálculos? La dilatación del tiempo relativista viene al rescate -- la lenta separación que vemos en el marco del laboratorio es exactamente la rápida separación en el marco de reposo, ralentizada por el factor gamma relativista.

Lección a tener en cuenta: La fuerza neta en cada electrón no es invariante entre marcos de referencia -- pero toda la teoría electromagnética brinda respuestas consistentes sobre el movimiento real de cargas cuando los cálculos se realizan en diferentes marcos inerciales.

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De paso, ten en cuenta que el electromagnetismo clásico no solo es "todavía bastante bueno"; encaja perfectamente en todas las velocidades hasta $c$, ya que resulta ser invariante bajo transformaciones de Lorentz (siempre que los campos se transformen en consecuencia) a pesar de que fue formulado antes de la relatividad.

Answer 2

Ignora el magnetismo y considera solo la electrostática. De hecho, el electromagnetismo es un efecto relativista. De hecho, considera dos cables paralelos. Desde los protones estáticos parece no haber carga neta, pero los electrones en movimiento ven diferentes densidades de protones y electrones y por lo tanto "sienten" la fuerza electrostática.

Answer 3

Debes entender que debido al efecto relativista desde el marco terrestre, las cargas experimentarán una fuerza eléctrica mayor que cuando están en reposo. Luego también experimentan una fuerza magnética. Suma ambas, será igual a la fuerza de Coulomb cuando las cargas están en reposo, según se ve desde el marco de carga.