Si $f: [a,b] \to V$ es una función (agradable) que toma valores en un espacio vectorial, se puede definir la integral definida $\int_a^b f(t)\ dt \in V$ como límite de las sumas de Riemann $\sum_{i=1}^n f(t_i^*) dt_i$ o como valor final $F(b)$ de la solución $F: [a,b] \to V$ al problema de la EDO $F'(t) = f(t); F(a) = 0$ .
Con un espíritu similar, dada una función (bonita) $f: [a,b] \to {\mathfrak g}$ tomando valores en un álgebra de Lie $\mathfrak g$ de un grupo de Lie $G$ se puede definir la integral definida multiplicativa, que en aras de la discusión denotaré $\Pi_a^b \exp(f(t)\ dt) \in G$ como límite de los productos de Riemann $\prod_{i=1}^n \exp(f(t_i^*) dt_i)$ (con el producto leído de izquierda a derecha), o como valor final $F(b)$ de la solución $F: [a,b] \to G$ de la ODE $F'(t) = F(t) f(t); F(a) = 1$ .
Así, por ejemplo, cuando el álgebra de Lie es abeliana, la integral multiplicativa es sólo la exponencial de la integral ordinaria,
$$\Pi_a^b \exp(f(t)\ dt) = \exp( \int_a^b f(t)\ dt)$$
pero en general los dos son un poco diferentes, aunque siguen siendo bastante análogos.
Esta noción surge implícitamente en muchos lugares (resolución de EDO, integración de conexiones a lo largo de curvas, dinámica y paseos aleatorios en grupos de Lie (por ejemplo, en el trabajo de Terry Lyons), la "transformada de Fourier no conmutativa" de la teoría de la dispersión, etc.), pero estoy seguro de que debe estudiarse explícitamente en algún cuerpo de literatura (e incluso recuerdo vagamente haberlo visto en algún momento en el pasado). Pero estoy teniendo dificultades para localizar esta literatura porque no estoy seguro de tener la terminología correcta para este concepto. Así que mis preguntas son:
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¿Cuál es el nombre y la notación aceptados para este concepto en la literatura? (Tal vez haya más de una notación de este tipo, procedente de cuerpos de literatura distintos).
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¿Cuáles son las referencias de la teoría de este concepto?
