El conjunto de elementos cero-cuadrado en un anillo conmutativo

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo y que $I:=\left\{x \in R : x^2=0 \right\}$ . Demostrar que $I$ es un ideal en $R$ o dar un contraejemplo.

Observación: Esto es problema 3B en el examen de calificación de álgebra de enero de 2003 en la Universidad Estatal de Arizona.

Answer 1

Dejemos que $k$ sea un anillo de característica diferente a $2$ y considerar el anillo $k[x,y]/(x^2,y^2)$ . Entonces ambos $x,y\in I$ pero $2xy$ es distinto de cero, por lo que $x+y\notin I$ .