Nota importante: El argumento detallado a continuación demuestra el teorema deseado si la cantidad $$C_{\text{rad}}=\frac{6}{\pi^2}\sum_{l=1}^\infty \frac{d_l}{l(l+1)}$$ satisface $C_{\text{rad}}>\frac{1}{2}$ , donde $d_l$ es la densidad relativa de enteros libres de cuadrados $k$ en el intervalo $\frac{n}{l+1}<k\leq \frac{n}{l}$ con $\text{num_rad}_n(k)=\text{odd}$ , donde $\text{num_rad}_n$ se define a continuación. Actualmente puedo demostrar que $$0.46684<C_{\text{rad}}<0.522,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$ pero no sé cómo evaluar exactamente esta serie. Si $C_{\text{rad}}<\frac{1}{2}$ entonces esta técnica de prueba no consigue el resultado deseado.
Para los enteros sin cuadrado $k$ definir la función $$\text{num_rad}_{n}(k)=\#\left\{ j\leq n:\ \text{rad}(j)=\text{rad}(k)\right\}.$$ Dado que los enteros sin cuadrados tienen radicales únicos, se deduce que $$\prod_{k=1}^{n}\left(1+(\text{rad}(k))^{2}\right)=\prod_{\begin{array}{c} k\leq n\\ k\text{ squarefree} \end{array}}\left(1+(\text{rad}(k))^{2}\right)^{\text{num_rad}_{n}(k)}.$$ Dividir los enteros libres de cuadrados a continuación $n$ en dos subconjuntos, $S_{n}^{\text{odd}}$ y $S_{n}^{\text{even}},$ definido por $$S_{n}^{\text{odd}}=\left\{ k\leq n\text{ squarefree}:\ \text{num_rad}_{n}(k)\text{ is odd}\right\}$$ y $$S_{n}^{\text{even}}=\left\{ k\leq n:\ \text{num_rad}_{n}(k)\text{ is even}\right\}.$$ Entonces $$\prod_{k=1}^{n}\left(1+(\text{rad}(k))^{2}\right)=K^{2}\prod_{k\in S_{n}^{\text{odd}}}\left(1+(\text{rad}(k))^{2}\right)$$ para algún número entero $K$ , donde $\text{rad}(k)\neq\text{rad}(j)$ para cualquier $j,k\in S_{n}^{\text{odd}}$ . Nuestro objetivo es reducir el tamaño de la parte libre de cuadrados de la cantidad
$$Q(n)=\prod_{k\in S_{n}^{\text{odd}}}\left(1+(\text{rad}(k))^{2}\right),$$
y lo hacemos de la siguiente manera:
Por desgracia, el límite inferior puede no ser lo suficientemente grande, y se basa en la constante $C_{\text{rad}}$ siendo mayor que $1/2$ .
Acotar la parte cuadrada
Propuesta 1: Supongamos que $Q(n)=M^2\cdot R$ donde $R$ es libre de cuadrados. Entonces $$\log M\lesssim \frac{n\log n}{2}$$
Prueba: Primero establecemos que si $p|M^2$ entonces $p\leq 2n$ . Si $p$ divide sólo un término $(1+\text{rad}(k)^2)$ entonces debemos tener $p^2$ dividiendo ese término, y así $p\leq 2\text{rad}(k)\leq 2n$ . Si $p$ divide dos términos diferentes, $(1+\text{rad}(k)^2)$ , $(1+\text{rad}(j)^2)$ entonces $p$ divide $(\text{rad}(k)-\text{rad}(j))(\text{rad}(j)+\text{rad}(k))$ y así una vez más $p\leq 2n$ . Es un teorema de Fermat que si $p$ |(m^2+1) para un número entero $m$ entonces $p\equiv 1\pmod{4}$ . Este hecho de congruencia es crítico, ya que nos permite ganar un factor de $2$ en el exponente sobre el límite trivial.
Así, podemos escribir $$M^2=\prod_{\begin{array}{c} p<2n\\ p\equiv1\ (4) \end{array}}p^{\alpha_{p}}$$ donde cada $\alpha_{p}$ es par. Ahora, entre los enteros $1,\dots,p^k$ puede haber a lo sumo dos para los que $p^k|x^2+1$ y así para cada $p\equiv 1\pmod{4}$ $$\alpha_{p}\leq\sum_{j\leq\log_{p}(n^{2}+1)}2\lceil\frac{n}{p^{j}}\rceil\leq2\log_{p}(n^{2}+1)+\frac{2n}{p-1}.$$ Así se obtiene el límite superior $$\log M^2\leq\sum_{\begin{array}{c} p<2n\\ p\equiv1\ (4) \end{array}}\left(\frac{2n\log p}{p-1}+2\log(n^{2}+1)\right),$$ $$\leq 2\pi(n,4,1)\log(n^2+1)+2n\sum_{\begin{array}{c} p<2n\\ p\equiv1\ (4) \end{array}}\frac{\log p}{p-1}.$$ Asintóticamente, por el teorema del número primo para las progresiones aritméticas, se deduce que
$$\log M^2 \lesssim n\log n.$$
Limitación inferior $\log Q(n)$
Dejemos que $k$ sea un número libre de cuadrados. Entonces queremos entender cuántos enteros por debajo de $n$ tienen $k$ como su radical, es decir, el número de divisores $d|k$ tal que $d\cdot k\leq n.$ Dejemos que $M_{n}^{l}=\left\{ k\text{ squarefree}:\ \frac{n}{l+1}\leq k\leq\frac{n}{l}\right\},$ donde $l\geq1$ es un número entero. Nos dividimos en estos rangos ya que $$d\cdot k=\begin{cases} \leq n & \text{if }d\leq l\\ >n & \text{if }d>l \end{cases},$$ lo que significa que estamos trabajando una función divisora truncada. En lo que sigue, intentaremos calcular la densidad $d_{l}$ de enteros libres de cuadrados $k$ en $M_{n}^{l}$ que también se encuentran en $S_{n}^{\text{odd}}$ , es decir, que tienen $\text{num\_rad}_{n}(k)$ impar. Con esta notación, se deduce que $$\frac{|S_{n}^{\text{odd}}|}{n}\sim\frac{6}{\pi^{2}}\cdot\left(\sum_{l=1}^{\infty}\frac{d_{l}}{l(l+1)}\right)=C_{\text{rad}},$$ donde el $\frac{6}{\pi^{2}}$ ya que es la densidad de los enteros libres de cuadrados.
Llevar el producto por encima $l$ del elemento más pequeño de $M_l$ a la potencia del número de elementos de este intervalo, intervalo, encontramos que $$\log(Q(l))\geq \frac{6}{\pi^2} \sum_{l=1}^\infty \frac{d_l}{l(l+1)}\log\frac{n}{l+1}=C_{\text{rad}} n\log n+O(n),$$ y así hemos demostrado la siguiente proposición:
Propuesta 2: Tenemos que $$\log(Q(n))\geq C_{\text{rad}} n\log n+O(n).$$
Propuesta de combinación $1$ y $2$ deducimos inmediatamente:
Teorema 1: Si $C_{\text{rad}}>\frac{1}{2}$ entonces existe una gran constante $N_0$ tal que para todo $n>N_0$ $$\prod_{k=1}^n \left(1+\left(\text{rad}(k)\right)^2\right)$$ nunca es un cuadrado.
Cálculos: Cálculo de $d_l$ para $l=1,2,3,4$
Cuando $l=1,$ todos los enteros en $M_{n}^{l}$ mienten en $S_{n}^{\text{odd}}$ desde $d=1$ es el único divisor admisible, y por tanto $$d_{1}=1.$$ Cuando $l=2,$ entonces aquellos enteros libres de cuadrados divisibles por $2$ debe ser excluido. Esto equivale a multiplicar por $\left(1-\frac{1}{2}\right),$ pero como los enteros libres de cuadrados ya excluían los múltiplos de $4,$ debemos dividir por $\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right),$ y así $$d_{2}=\frac{\left(1-\frac{1}{2}\right)}{\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)}=\frac{2}{3}.$$ Cuando $l=3,$ debemos evitar los factores de $2,$ factores de $3,$ pero no factores de $2$ y $3,$ ya que en ese caso tenemos un número impar de divisores. Por lo tanto, $$d_{3}=\frac{\left(\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{2\cdot3}\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\right)}{\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)}=\left(\frac{7}{12}\right).$$ Cuando $l=4,$ sólo debemos evitar los factores de $3,$ y así $$d_{4}=\frac{\left(1-\frac{1}{3}\right)}{\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)}=\frac{3}{4}.$$ En general, tendremos que $$d_l=\prod_{p\leq l}\left(1-\frac{1}{p}\right)\cdot \prod_{p\leq l}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)^{-2}\cdot \left(\sum_{n}\frac{f_l(n)}{n}\right)$$ para una función muy específica $f_l(n)$ tomando valores $0$ o $1$ y que siempre es $0$ si $p>l$ divide $n$ o si $n$ no es libre de cuadrados, y es $1$ si $n=1$ . Limpiando esto un poco, $$d_l=\prod_{p\leq l}\left(1+\frac{1}{p}\right)^{-1}\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{f_l(n)}{n}\right).$$ En particular, para los primos $q$ tenemos que $$f_l(q)=\sum_{q^k\leq l}(-1)^{k-1},$$ y en general parece bastante desordenado.
Cálculos explícitos:
Utilizando estos números, obtenemos los límites indicados en la ecuación $(1)$ .
