¿Cuál es la relación entre la cohomología de gavillas de diferentes funtores de secciones globales

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio anillado, y $F$ sea un haz de grupos abelianos sobre $X$ . Entonces $H^i(X, F)$ es el funtor derivado derecho del funtor de secciones globales. Sin embargo, hay al menos tres funtores de secciones globales diferentes de los que podemos tomar funtores derivados:

1. Olvídate de la estructura espacial anillada y considera simplemente $X$ como espacio topológico y $F$ es una gavilla de grupos abelianos. Entonces, el functor de secciones globales es $Ab(X) \rightarrow Ab$ .
2. Si $F$ tiene un $O_X$ -entonces tenemos otro functor de secciones globales $O_X-mod \rightarrow O_X(X)-mod$ . Es decir: la categoría de gavillas $O_X$ -a la categoría de $O_X(X)$ -módulos
3. También podemos restringir (2) al caso en que $F$ es cuasicoherente. Es decir: tenemos un functor $QCoh(X) \rightarrow O_X(X)-mod$ .

Mi pregunta es: ¿cuál es la relación entre ellos? Los objetos inyectivos en la categoría de gavillas cuasicoherentes no es lo mismo que los objetos inyectivos en la categoría de gavillas de $O_X$ -módulos, véase aquí para un ejemplo.

La proposición III.2.6 de Hartshorne afirma que los funtores derivados $O_X-mod$ a $Ab$ coinciden con el functor de cohomología. ¿Significa esto que (2) y (1) dan lugar a los mismos grupos de cohomología, después de aplicar el functor de olvido?

Si $X$ es un esquema afín, entonces el functor de secciones globales es exacto. Esto implicaría que el $H^i(X, F)$ para $i \geq 1$ es 0 para el tercer functor de secciones globales. ¿Qué pasa con los funtores de las secciones globales primera y segunda?

Answer 1

Su análisis de la equivalencia de (1) y (2) es correcto. (2) y (3) son equivalentes en el caso de que $X$ es noetheriano, y se trata de la misma idea, aunque tratada un poco más tarde en Hartshorne: III.3.6 dice que toda gavilla cuasicoherente en un esquema noetheriano puede incrustarse en una gavilla flasque cuasicoherente, y las gavillas flasque son acíclicas para las secciones globales, por lo que se puede calcular la cohomología con ellas. En el caso general de $X$ no es noeteriano, la prueba anterior no se aplica y debería haber contraejemplos (ver por ejemplo esta respuesta de Roland aunque no contiene un contraejemplo explícito).

El último párrafo contiene un pequeño error: $X$ ser un esquema afín sólo significa que el functor de secciones globales es exacto en las láminas cuasicoherentes. Demostraremos que podemos tener tramas no cuasicoherentes con cohomología superior en esquemas afines mediante un truco sucio. Sobre un campo infinito $k$ los espacios topológicos subyacentes de los esquemas $\Bbb A^1_k$ y $\Bbb P^1_k$ son homeomórficos (ambos tienen un punto genérico y $|k|$ puntos cerrados, y están dotados de topologías donde los conjuntos cerrados son exactamente los conjuntos finitos de puntos cerrados). Sea $u:\Bbb A^1_k\to\Bbb P^1_k$ sea un homeomorfismo de este tipo. Entonces $H^i(\Bbb A^1_k,u^{-1}(\mathcal{F}))=H^i(\Bbb P^1_k,\mathcal{F})$ para $\mathcal{F}$ una gavilla de grupos abelianos, por lo que al escoger $\mathcal{F}=\mathcal{O}(-2)$ Por ejemplo, podemos encontrar una gavilla de grupos abelianos con mayor cohomología. La moraleja aquí es que no podemos decir si un esquema es afín o no sólo por su espacio topológico subyacente.

(2) también debería ser falso, pero no estoy seguro de un contraejemplo concreto. Creo que se puede utilizar el ejemplo del párrafo anterior poniendo un gracioso $\mathcal{O}_X$ -estructura en la gavilla en cuestión, pero ahora mismo tengo el cerebro congelado al respecto.