$P$ y $Q$ son relaciones unarias, por lo que se puede modelar cada una de ellas como conjuntos $P_s$ y $Q_s$ , donde $P(x)$ si $x \in P_s$ y $Q(x)$ si $x \in Q_s$ . Sea $W$ ser todos los objetos del universo.
Así que traduce cada afirmación en conjuntos:
- $(\forall x~p(x) \implies \forall x~q(x)) \implies( \exists x~\lnot p(x) \lor \forall x~q(x))$
Convertir el $\lor$ a $\implies$ lo consigues:
$$(\forall x~p(x) \implies \forall x~q(x)) \implies( \lnot \exists x~\lnot p(x) \implies \forall x~q(x))$$ $$(\forall x~p(x) \implies \forall x~q(x)) \implies( \forall x~p(x) \implies \forall x~q(x))$$
Por tanto, la fórmula es válida si, para cualquier modelo en el que $(\forall x~p(x) \implies \forall x~q(x))$ sostiene, que $(\forall x~p(x) \implies \forall x~q(x))$ también tiene.
- $(\exists x~p(x) \lor \exists x~q(x)) \implies \exists x~(p(x) \lor q(x)) $
Si $P_s$ no está vacío o $Q_s$ no está vacío, entonces $P_s \cup Q_s$ no está vacío. Es bastante fácil establecer que esto es válido para cualquier modelo.
- $ \exists x~(p(x) \land q(x)) \implies( \exists x~p(x) \land \exists x~q(x))$
Si $P_s \cap Q_s$ es no vacía, entonces $P_s$ es no vacía y $Q_s$ es no vacía. Cualquier cosa modelará esto.
- $ \forall x~(p(x) \lor q(x)) \implies( \forall x~p(x) \lor \forall x~q(x))$
Si $P_s \cup Q_s = W$ entonces $P_s = W$ o $Q_s = W$ . Es evidente que esto no es cierto para cualquier elección de $P_s$ y $Q_s$ . De hecho las únicas veces que será cierto es:
- cuando $P_s = W$ , lo que significa $P(x) = \text{True}$ o
- cuando $Q_s = W$ , lo que significa $Q(x) = \text{True}$ o
- cuando $P_s \cap Q_s \ne W$ es decir, cuando hay un valor de $x$ donde ambos $P(x)$ y $Q(x)$ no aguantan.
De lo contrario, la elección de $P()$ y $Q()$ no modelará (4).
