¿Cómo resuelvo una derivada que tiene un valor absoluto? $x \times |x|$

Question

Tengo una función x * |x|

Para obtener la derivada he utilizado los primeros principios:

$$ f'(x) = ( (x-h) * | x + h | - (x * |x|) )/ h $$

Así que si x es + tengo

$$ x ^ 2 + xh - xh - h^2 - x^2 / h $$ $$ -h^2/h$$ $$ -h $$ $$ 0 $$

Si x es negativo:

$$ x^2 - 2xh + h^2 - x^2$$ $$ -2xh+h^2 $$ $$ h (-2x + h)/h$$ $$ -2x + h $$ $$ -2x $$

Así que he comprobado con una calculadora de derivadas y dice que la respuesta es 2x....

Así que no estoy exactamente seguro de por qué obtuve -2x, y por qué sólo usamos la parte negativa, por qué la respuesta no es -2x para la x negativa y 0 para la x positiva... ¿por qué sólo se elige una?

Answer 1

Desde $|x|=\sqrt{x^2}$ tenemos $f(x)=x\cdot\sqrt{x^2}\Rightarrow f'(x)=\sqrt{x^2}+x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{x^2}}\cdot2x=|x|+\dfrac{x^2}{\left|x\right|}$ .

EDIT: Una nueva simplificación: $f(x)=\dfrac{\left|x\right|^2+x^2}{\left|x \right|}= \dfrac{2\left| x\right|^2}{\left| x\right|}=2\left| x\right|$ .

Answer 2

Creo que si se utiliza la siguiente definición equivalente, el resultado será más concreto: $$f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$ De hecho, mientras $x_0>0$ entonces $x\to x_0$ hacer $x$ ser positivo y cuando $x_0<0$ entonces $x\to x_0$ hacer $x$ para ser negativo. Así que tendremos $x|x|=x^2$ o $x|x|=-x^2$ respectivamente. Piensa en $x_0=0$ .