Función simétrica del movimiento browniano

Question

Dejemos que $W_t$ sea un movimiento browniano. Utilizando el software, puedo calcular $E[e^{\beta t} \sin{(\gamma W_t})] = 0$ . Se podría anular este cálculo con un argumento simétrico inteligente. Es decir: Dado que $sin(t)$ es una función impar (simétrica respecto al eje x), debemos tener que $sin(W_t)$ es positivo con 1/2 y negativo con 1/2. Por lo tanto, el valor esperado debe desaparecer. ¿Cómo puedo hacer este argumento más formal?

Answer 1

Hay muchas variables aleatorias que son positivas con probabilidad $1/2$ y negativo con probabilidad $1/2$ pero su valor esperado no es $0$ . Pero el punto sobre $\sin$ ser impar es una buena. Lo que significa es que la distribución de su variable aleatoria es simétrico sobre $0$ y eso implica que el valor esperado (si existe) es $0$ .