Productos tensoriales infinitos

Question

Dejemos que $A$ sea un anillo conmutativo y $M_i, i \in I$ sea una familia infinita de $A$ -módulos. Definir su producto tensorial $\bigotimes_{i \in I} M_i$ sea un objeto representativo del functor de mapas multilineales definido en $\prod_{i \in I} M_i$ (esto existe por la construcción habitual). Por tanto, existe un mapa universal multilineal $\otimes : \prod_{i \in I} M_i \to \bigotimes_{i \in I} M_i$ . Hace algunos años, quise examinar este producto tensorial infinito, pero en la literatura no pude encontrar nada que fuera más allá de algunos isomorfismos naturales (por ejemplo, la asociatividad) o el submódulo que consiste en tensores que se convierten eventualmente en constante un elemento específico de $\prod_{i \in I} M_i$ que da lugar a un colímite de productos tensoriales finitos (denotado $U_x$ abajo). En general, parece que es bastante difícil describir $\bigotimes_{i \in I} M_i$ . Por ejemplo, para un campo $K$ , $K \otimes_K \otimes_K ...$ tiene dimensión $|K^*|^{\aleph_0}$ (ver más abajo) y no se puede anotar una base, lo que puede asustar cuando se ve por primera vez. La cuestión es que las relaciones multilineales no pueden aplicarse infinitas veces a la vez: Por ejemplo, en $K \otimes_K \otimes_K ...$ tenemos $x_1 \otimes x_2 \otimes ... = y_1 \otimes y_2 \otimes ...$ si y sólo si $x_i = y_i$ para casi todos los $i$ y para el resto tenemos $\prod_i x_i = \prod_i y_i$ .

Antes de plantear mi pregunta, proporciono algunos resultados.

1.1. Supongamos que $M_i$ son libres de torsión $A$ -módulos (es decir $am=0 \Rightarrow a=0 \vee m=0$ ). En este caso, podemos descomponer $\bigotimes_{i \in I} M_i$ como sigue: Definir $X = \prod_{i \in I} M_i \setminus \{0\}$ y que $x \sim y \Leftrightarrow \{i : x_i \neq y_i\}$ finito. Entonces $\sim$ es una relación de equivalencia en $X$ . Sea $R$ sea un conjunto de representantes (¡esto hace que esta descripción sea fea!). Entonces hay un mapa canónico

$H : \text{Mult}(\prod_{i \in I} M_i,-) \to \prod_{x \in R} \lim_{E \subseteq I \text{~finite}} \text{Mult}^x(\prod_{i \in E} M_i,-)$ ,

donde $\text{Mult}^x$ indica que los mapas de transición del límite vienen dados por la inserción de las entradas de $x$ y no es difícil demostrar que $H$ es biyectiva. Por lo tanto,

$\bigotimes_{i \in I} M_i = \bigoplus_{x \in R} U_x$ ,

donde $U_x = \cup_{E \subseteq I \text{~finite}} \bigotimes_{i \in E} M_i \otimes \otimes_{i \notin E} x_i$ es el colímite de los productos tensoriales finitos $\otimes_{i \in E} M_i$ (los mapas de transición dados por el tensado con entradas de $x$ ). Los mapas canónicos $\otimes_{i \in E} M_i \to U_x$ no tienen que ser inyectivas; al menos cuando $A$ es un PID, este es el caso. Obsérvese que $U_x$ sólo depende de la clase de equivalencia de $x$ para que la descomposición en el $U_x$ es canónica, mientras que la representación de $U_x$ como límite directo (¡incluyendo los mapas de transición!) depende realmente de $x$ .

1.2 Si $M_i = A$ es un dominio integral, obtenemos $\bigotimes_{i \in I} A = \oplus_{x \in R} U_x$ , donde $U_x$ es el límite directo de las copias $A_E$ de $A$ para todo subconjunto finito $E \subseteq I$ y mapas de transición $\prod_{i \in E' \setminus E} x_i : A_E \to A_{E'}$ para $E \subseteq E'$ . $U_x$ es sólo la localización de $A$ en el $x_i$ .

1.3 Si $A$ es un campo, y $M_i$ tiene base $B_i$ entonces $B_x = \cup_{E \subseteq I} \bigotimes_{i \in E} B_i \otimes \otimes_{i \notin E} x_i$ es una base de $U_x$ y por lo tanto $\cup_{x \in R} B_x$ es una base de $\bigotimes_{i \in I} M_i$ . Según esta pregunta , este tiene cardinalidad $\max(|X|,|I|,\max_i(\dim(M_i)))$ .

1.4 Si $A_i$ son $A$ -entonces $\bigotimes_{i \in I} A_i$ es un $A$ -Álgebra. Si el $A_i$ son dominios integrales, entonces es un álgebra graduada por el monoide $X/\sim$ con componentes $U_x$ .

Si $A=A_i=K$ es un campo con $U=K^x$ entonces existe un isomorfismo de espacio vectorial entre $\bigotimes_{i \in I} K$ y el álgebra de grupo $K[U^I / U^{(I)}]$ . Una condición suficiente, no necesaria, para la existencia de un $K$ -El isomorfismo de álgebra es que $U^{(I)}$ es un sumando directo de $U^I$ lo cual es bastante raro (ver este pregunta ). Sin embargo, podemos preguntar si estos $K$ -algebras isomorfas . En cierto sentido ya lo he demostrado localmente (subálgebras dadas por subgrupos finitamente generados del grupo $U^I / U^{(I)}$ son isomorfos, de una manera terriblemente poco canónica). Muchas de las preguntas que estoy planteando aquí están dirigidas a este problema.

2.1 ¿Qué pasa con el producto tensorial intercambiado con los duales? Dejemos que $(V_i)_{i \in I}$ sea una familia de espacios vectoriales sobre un campo $K$ . Para los elementos $\lambda_i \in K$ definan su producto infinito $\prod_{i \in I} \lambda_i$ para ser el producto habitual si $\lambda_i=1$ para casi todos los $i$ y, por lo demás, ser $0$ . Esto da lugar a un mapa multilineal $\prod : K^I \to K$ y por tanto un mapa lineal $\delta : \bigotimes_{i \in I} V_i^* \to (\bigotimes_{i \in I} V_i)^*, \otimes_i f_i \mapsto (\otimes_i x_i \mapsto \prod_{i \in I} f_i(x_i)).$ Entonces se puede demostrar que $\delta$ es inyectiva, pero la prueba es bastante complicada.

2.2 Dejemos que $W_i$ sea otra familia de espacios vectoriales sobre un campo $K$ . Entonces existe un mapa canónico $\alpha : \bigotimes_{i \in I} \operatorname{Hom}(V_i,W_i) \to \operatorname{Hom}(\bigotimes_{i \in I} V_i, \bigotimes_{i \in I} W_i).$ Es $\alpha$ ¿Inyectiva? Esto se sabe cuando $I$ es finito.

3 ¿Qué pasa con otras propiedades de los productos tensoriales finitos? ¿Generalizan? Por ejemplo, dejemos $J_i, i \in I$ sea una familia de conjuntos de índices y $M_{i,j}$ ser un $A$ -módulo donde $i \in I, j \in J_i$ . Entonces existe un homomorfismo canónico $\delta : \bigoplus_{k \in \prod_{i \in I} J_i} \bigotimes_{i \in I} M_{i,k(i)} \to \bigotimes_{i \in I} \oplus_{j \in J_i} M_{i,j}$ . Se puede demostrar que $\delta$ es inyectiva, pero ¿es también biyectiva (como en el caso finito)?

4 La descripción del producto tensorial dada en 1.1 depende de un conjunto de representantes y no es útil cuando se quiere demostrar algo. ¿Hay descripciones mejores?

Hay que tener en cuenta que en esta pregunta no me interesan los productos tensoriales infinitos definidos en el análisis funcional o sólo los colímites de los finitos. Me interesa el producto tensorial definido anteriormente (que probablemente todos los matemáticos consideran "el equivocado"). Se agradece cualquier pista sobre su estructura o literatura al respecto.

Answer 1

Casualmente, en 2009 comencé un trabajo sobre productos tensoriales infinitos de espacios vectoriales complejos, $^*$ -y espacios de Hilbert. El artículo resultante acaba de ser aceptado para su publicación y lo he puesto en el arxiv: https://arxiv.org/abs/1112.3128 . En el artículo, obtuve un resultado similar a su 1.1 (para espacios vectoriales) y obtuve una respuesta positiva a su pregunta 2.2 (cuando $K$ es el complejo archivado).