Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito, $N$ un subgrupo normal cíclico de $G$ y $H$ cualquier subgrupo de $N$ . Demostrar que $H$ es un subgrupo normal de $G$ .

Esta prueba tiene errores probablemente:

Desde $N$ es cíclico, sea $N$ ser generado por $\langle n \rangle$ para algunos $n \in N$ . También, $N$ es normal en $G$ , por lo que tenemos $gng^{-1} \in N$ . Desde $H \le G$ El cierre se mantiene en $H$ . Así que para algunos $n \in H$ (ya que $n \in G$ ), $gng^{-1} \in H$ .

Answer 1

Dejemos que $g \in G $ .

Observe que $H^{g} \subseteq N^{g} = N$ .

N es finito y cíclico, por lo que $H$ es el único subgrupo de $N$ con cardinalidad $|H|$ . Así que $H^{g} = H $ y por lo tanto $H$ es normal en $G$ .

Answer 2

Este es un caso especial de algo mucho más general: un subgrupo $K$ de $G$ se llama característica (y uno escribe $K$ char $G$ ) es que está fijado por cada automorfismo de $G$ ( $\forall \alpha \in Aut(G): \alpha(K)=K$ ).
Como la conjugación es un automorfismo, todo subgrupo característico es normal, aunque no todo subgrupo normal tiene que ser característico. Ejemplos de subgrupos característicos son el subgrupo conmutador y el centro de un grupo. Todos los subgrupos de un grupo cíclico finito son característicos (debido a la unicidad del orden de cada subgrupo).

Ahora, y esta es la afirmación general, si $K$ char $N \unlhd G$ entonces $K \unlhd G$ . $K$ no tiene por qué ser cíclico, un ejemplo, que $K=\{(1), (1 2)(34), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)\}$ , $N=A_4$ y $G=S_4$ . Observe que $A_4'=K$ Así que $K$ char $A_4$ . Y por lo tanto $K \lhd S_4$ .