Cómo que R al cuadrado es el coeficiente de correlación al cuadrado para $X$ ¿dado en forma de matriz?

Question

Cómo demostrar que en la regrsión lineal con intercepción, el coeficiente de determinación $R^2$ es igual al cuadrado del coeficiente de correlación muestral entre las variables $X$ y $Y$ dado en forma de matriz. Tengo una idea de cómo mostrar este hecho utilizando el deffiniton de R al cuadrado $R^2 = \frac{ESS}{RSS}$ y fórmulas para el ESS y el RSS. Sin embargo, mi idea sólo funciona para una $X$ no una matriz de x's... ¿Puedes dar una idea?

Answer 1

Tenga en cuenta que $R^2$ es $\frac{ESS}{TSS}$ ( no $\frac{ESS}{RSS}$ ).

Pero voy a sugerir otro enfoque: $$R^2 = \frac{Var(\hat{y})}{Var(y)} = \frac{Var(\hat{a} + \hat{b}X)}{Var(y)} = \frac{Var(\hat{b}X)}{Var(y)} =$$ $$= \hat{b}^2 \frac{Var(X)}{Var(y)} = \Bigg(\frac{Cov(X, y)}{Var(X)}\Bigg)^2 \cdot \frac{Var(X)}{Var(y)} =$$ $$= \Bigg(\frac{Cov(X, y)}{\sqrt{Var(X)Var(y)}}\Bigg)^2 = Corr^2(X,y)$$