Necesito demostrar que en el límite de masa a cero la densidad lagrangiana: $$\mathcal{L}=\bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$$ es invariante bajo las transformaciones: $$\psi'=e^{i\alpha\gamma^5} \psi$$ $${\psi^{\dagger}}'=\psi^\dagger e^{-i\alpha\gamma^5} $$ He utilizado la identidad: $e^{-i\alpha\gamma^5}\gamma^0=\gamma^0e^{i\alpha\gamma^5}$ para llegar al lagrangiano: $$\mathcal{L'}=\psi^\dagger e^{-i\alpha\gamma^5}\gamma^0(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)e^{i\alpha\gamma^5}\psi=\bar{\psi}e^{i\alpha\gamma^5}(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)e^{i\alpha\gamma^5}\psi=\bar{\psi}e^{i\alpha\gamma^5}(i\gamma^\mu\partial_\mu) e^{i\alpha\gamma^5}\psi-\bar{\psi} me^{2i\alpha\gamma^5}\psi$$ Veo que cuando la masa llega a cero el término de la derecha desaparece. No veo cómo deshacerse de los exponenciales en el término de la izquierda, ¿debo encontrar una identidad similar para intercambiar $e^{i\alpha\gamma^5}$ y $\gamma^\mu$ ?
Respuesta
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La identidad ya utilizada para $\gamma^0$ puede generalizarse a cualquier $\mu$ es decir $[\gamma^\mu, \gamma^5] =0$ De ahí que uno recoja un cartel en $$\gamma^\mu e^{i\alpha \gamma^5} = e^{-i\alpha \gamma^5} \gamma^\mu\ .$$
Esto significa que $$ \bar{\psi}e^{i\alpha\gamma^5}(i\gamma^\mu\partial_\mu) e^{i\alpha\gamma^5}\psi = \bar{\psi}e^{i\alpha\gamma^5}e^{-i\alpha\gamma^5}(i\gamma^\mu\partial_\mu) \psi = \bar{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu) \psi\ $$ y demuestra la invariabilidad (es decir, la simetría global y significa que el parámetro $\alpha$ es una constante y no una función $\alpha(x)$ ) bajo rotaciones quirales de un solo sabor en el límite quiral (es decir, para espinores de Dirac sin masa).
