Primero permítanme recordar la definición de suma de cuñas:
Dejemos que ${\{(X_i,x_i)\}}_{i\in I}$ sea una familia de espacios topológicos puntuales, es decir, espacios topológicos con puntos base distinguidos $x_i$ . La suma de cuñas de la familia es el espacio cociente de la unión disjunta de los miembros de la familia por la identificación todos $x_i$ es decir $$\bigvee _{i}X_{i}=\coprod _{i}X_{i}\;/{\{x_i: i\in I\}}$$ . En otras palabras, la suma de cuñas es la unión de varios espacios en un solo punto.
Como sabemos, la suma de cuñas es sensible a la elección de los puntos base. Pero, vi un ejercicio en un libro de topología algebraica como el siguiente:
Ex. Demostrar que si $X$ y $Y$ son espacios topológicos conectados por trayectorias, la cuña algunos es independiente de la elección de los puntos base.
¡¡Tengo dudas de que este ejercicio sea cierto!! Por ejemplo, si consideramos un cono $\mathcal{C}$ con (1,0) apox sobre el conjunto $A=\{(\frac{1}{n},0): n\in\mathbb{N}\}\cup\{(o,o)\}$ entonces $(X, (0,0))\vee (X, (0,0))$ no es contraíble, mientras que $(X, (1,0))\vee (X, (1,0))$ ¡¡¡es contratable!!!
Ahora mi pregunta es esa:
¿Cuando la suma de cuñas de los espacios topológicos conectados por trayectorias es independiente de la elección de los puntos base hasta la homotopía? Por ejemplo, ¿es cierto el mencionado Ex para el caso de los complejos simpliciales conectados por trayectorias?
