Suma de dos diferencias al cuadrado

Question

Me han dicho que dada una secuencia de dos variables aleatorias independientes ( $y_{i1}$ , $y_{i2})$ con medios $u_i$ (la misma media para $y_{i1}$ y $y_{i2}$ ) y la varianza $\psi$ (misma varianza para todos) que lo siguiente es cierto:

$\sum_{i=1}^{n}[(y_{i1} - \hat{u_i})^2 + (y_{i2} - \hat{u_i})^2]$ = $\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}(y_{i1} - y_{i2})^2$

¿Es esto correcto, y si es así, puede alguien ayudarme a ver la conexión?

Actualización: a mi ecuación anterior le faltaban los sombreros en la u. enchufando:
$\hat{u_i} = \frac{y_{i1} - y_{i2}}{2}$ . como se determina en el pdf, la solución es sólo un poco de álgebra.

Answer 1

He aquí un contraejemplo

\begin{align} y_1 = \{1, 1, -1\} \\ y_2 = \{1, -1, 1\} \end{align}

Ambos tienen la misma media ( $\mu = 1/3$ ) y la varianza (4/3)

Y

$$ \sum_i (y_{i1} - \mu)^2 + (y_{i2} - \mu)^2 = 16/3 $$

mientras que

$$ \frac{1}{2}\sum_i(y_{i1} - y{i2}) = 4 $$