contraejemplo: grado de representación $\leq$ índice de subgrupo normal

Question

Si tengo un grupo finito $G$ con un subgrupo normal abeliano $N$ y una representación irreducible $\pi$ de $G$ en $K$ . Entonces sé, que $deg(\pi) \leq [G:N]$ , si $K$ tiene característica positiva y es un campo de división para $G$ . Mi profesor afirmó (sin una prueba), que esto también es cierto si tomo $K=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . ¿Por qué debería funcionar? Es decir, $K$ no debe ser un campo de división aquí? ¿O hay algún contraejemplo?

Intenté obtener un contraejemplo para $G=\mathbb{Z}/p'\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con $gcd(p,p')=1$ . Aquí debe llegar, que la dimensión de un irreducible $K(G)$ -el módulo es 1 o 2. Pero no obtengo ningún resultado.

saludos, Khanna

Answer 1

Contraejemplos son bastante comunes. Su idea de tomar un grupo diedro $G$ es bueno. Por ejemplo, consideremos una representación irreducible fiel del grupo diédrico de orden 10 sobre un campo de tamaño 3. Evidentemente, [1] tiene una representación irreducible fiel, por lo que sólo queremos averiguar su dimensión.

La dimensión no es 1, porque $\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}\GL(1,3)$ tiene orden $2 < 10$ . La dimensión no es ni siquiera 2 ya que $\GL(2,3)$ tiene orden $48 \neq 0 \mod 10$ por lo que el teorema de Lagrange muestra que $G$ no tiene ninguna representación fiel de dimensión 2 sobre un campo de tamaño 3. De hecho, las matrices explícitas [2] muestran que la dimensión 4 es suficientemente grande, y una consideración de los valores propios muestra que la dimensión 4 es mínima.

[1] Todo subgrupo normal es el núcleo de una representación, y como el campo tiene orden coprimo al grupo, toda representación es semisimple, por lo que sólo importan las representaciones irreducibles en la representación (no sus multiplicidades). Como $G$ tiene un único subgrupo normal mínimo, debe tener una representación irreducible fiel para que el subgrupo trivial sea un núcleo.

[2] Además, doy algunas matrices explícitas en esta respuesta . La pregunta y la respuesta utilizan el automorfismo de Frobenius y las trazas para encontrar dimensiones mínimas de representaciones irreducibles fieles.

El contraejemplo más pequeño

Dejemos que $G$ sea cíclico de orden 3, y que $K=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ sea un campo de orden 2. Sea $N=G$ y comprobar que $N$ es un subgrupo normal abeliano de índice $[G:N]=1$ . Sin embargo, $\GL(1,K)$ tiene orden 1, por lo que toda representación de un grupo de dimensión 1 sobre $K$ es la representación trivial. Sin embargo, $G$ tiene algo más que la representación trivial: tiene una representación irreducible de dimensión 2: $$ a = \begin{bmatrix} . & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \in \GL(2,K)$$ No es reducible, ya que al ser la suma directa de dos representaciones unidimensionales sobre $K$ es lo mismo que ser la suma directa de dos representaciones triviales sobre $K$ es la misma que la de cada elemento del grupo que mapea a la matriz identidad. En particular, aquí hay una representación irreducible $\pi$ tal que $\deg(\pi)=2 > [G:N]=1$ .

Los únicos grupos más pequeños son $G$ de orden 1 y 2, y en esos casos todas las representaciones irreducibles sobre cada campo son de dimensión 1, por lo que no hay problema.