Desigualdad poco clara en la demostración del teorema ergódico de Birkhoff.

Question

Estoy tratando de entender la complicada demostración del teorema ergódico (Birkhoff 1931). Mi referencia es "Ward,Einsiedler - Ergodic theory (with a view towards number Theory)" sección 1.6:

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Considere la secuencia de funciones $$a_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(T^i(x))$$ donde $T$ es una transformación que preserva la medida y $f\in L^1_\mu$ (suponer valor real) . He entendido la parte de la prueba donde se demuestra que el límite puntual $f^\ast $ existe pero tengo problemas para demostrar que $f^\ast\in L^1_\mu $ . En particular, el siguiente pasaje es oscuro:

Definamos $g_n(x)=|a_n(x)|$ por qué es cierto que $$\int g_n\,d\mu\le\int|f|\,d\mu$$

por cada $n$ ?

(El resto de la prueba se sigue por el lema de Fatou)

Answer 1

De la desigualdad del triángulo, $$\lVert a_n\rVert_1=\frac 1n\left\lVert\sum_{i=0}^{n-1}f\circ T^i\right\rVert_1\leqslant \frac 1n\sum_{i=0}^{n-1}\left\lVert f\circ T^i\right\rVert_1.$$ Para concluir, obsérvese que como $T$ es preservador de la medida, entonces $$\tag{*}\int g\mathrm d\mu=\int g \circ T\mathrm d\mu$$ para cualquier $g$ que puede expresarse como una combinación lineal de funciones características. Mediante un argumento de aproximación, extendemos (*) a cualquier función integrable $g$ y concluimos que $$\lVert a_n\rVert_1\leqslant \lVert f\rVert_1.$$