Algunas preguntas sobre un teorema de reconstrucción. Estoy leyendo la demostración del siguiente teorema
Lemma 1.1. (Bola de características). Si un $d$ -bola $B = B_{c,r}$ se cruza con un $k$ -manifold $\Sigma \subset \mathbb{R}^d$ en más de un punto en el que $(i)$ $B \cap \Sigma$ no es un $k$ -bola o $(ii)$ $bd ( B \cap \Sigma)$ no es un $k-1$ -esfera, entonces un punto del eje medial está en $B$ .
Prueba. Primero demostramos que si $B$ intersección $\Sigma$ en más de un punto y $B$ es tangente a $\Sigma$ en algún momento, $B$ contiene un punto de eje medial.
Pregunta 1. ¿Por qué es necesario estudiar ese caso en primer lugar? ya que ni siquiera se menciona en el enunciado del teorema, a menos que esto ocurra con el caso (i) o (ii)?
Dejemos que $x$ sea el punto de esta tangencia. Reducir $B$ manteniendo además la tangencia con $\Sigma$ en $x$ . Nos detenemos cuando $B$ se encuentra con $\Sigma$ sólo tangencialmente.
Pregunta 2. Puedo imaginarme exactamente lo que ocurre en 2D o incluso en 3D, y puedo imaginar lo que ocurre con la dimensión $k > 3$ Sin embargo, sólo puedo imaginar que me falta exactamente qué transformación se define para realizar esta contracción.
