Cómo describir $\mathbb{Q}(\mu_n)$ ?

Question

Hoy, en mi curso de álgebra de posgrado, nuestro instructor introdujo la notación $\mathbb{Q}(\mu_p)$ como el campo de las raíces p-ésimas de la unidad.

Pero, he tenido problemas para tratar de averiguar exactamente cómo son los elementos de este campo. ¿Es este campo análogo a $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ , donde $\zeta_p$ es una raíz pth primitiva de la unidad? Es decir, ¿es $\mathbb{Q}(\mu_p)$ simplemente una notación diferente para $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ ?

¿Cómo puedo describir los elementos en $\mathbb{Q}(\mu_p)$ como una combinación lineal de elementos de base sobre $\mathbb{Q}$ ? ¿Contiene otros campos que conocemos, según el valor de $p$ ? Por ejemplo, si $p = 5$ , lo hace $\mathbb{Q}(\mu_5)$ contienen $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ ?

Gracias por su ayuda, de antemano. Se lo agradezco mucho.

Answer 1

$\mu_p$ es sólo una notación diferente para $\zeta_p$ .

$\mu_p$ satisface un polinomio irreducible de grado $p-1$ por lo que una base para el campo como espacio vectorial sobre los racionales viene dada por $\{\,\mu_p^r: r=0,1,\dots,p-2\,\}$ .

El campo contiene muchos otros campos que puede conocer o no, algunos de los cuales puede aprender a lo largo del curso. No es trivial demostrar que contiene ${\bf Q}(\sqrt p)$ si $p\equiv1\bmod4$ y ${\bf Q}(\sqrt{-p})$ si $p\equiv-1\bmod4$ .