Otras características de Euler?

Question

Al final de V. 3.4 en Álgebra: Capítulo 0, Aluffi describe la construcción de un grupo de Grothendieck sobre la categoría de finito dimensionales $\operatorname{k}$-espacios vectoriales, $K(\operatorname{k-vect^f})$. Primero construir $F^{\operatorname{Ab}}([\operatorname{k-vect^f}])$, la libre abelian grupo en el isomorfismo de las clases de objetos en $\operatorname{k-vect^f}$. Entonces usted cociente a cabo el subgrupo generado por a $[V]-[U]-[W]$ cada vez que hay un exacto \begin{equation} 0\longrightarrow U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0. \end{equation}

Aunque los trabajos de construcción en general settings (más exacto categorías), pero vamos a centrarnos en esta $K(\operatorname{k-vect^f})$. En particular, este grupo de Grothendieck da un generalizada característica de Euler \begin{equation} \chi_K(V_{\bullet})=\sum(-1)^j[V_j], \end{equation} donde: $V_{\bullet}$ es el complejo\begin{equation} 0\longrightarrow V_{N}\longrightarrow V_{N-1}\longrightarrow V_{N-2}\longrightarrow\cdots\longrightarrow V_0\longrightarrow 0. \end{equation}

Allufi dice que esto esta universal en el sentido de que si $\delta:\operatorname{k-vect^f}\to G$ es una función de $\operatorname{k-vect^f}$ a un grupo abelian satisfacer dos condiciones naturales: $\delta(V)=\delta(V')$ si $V\cong V'$, e $\delta(V/U)=\delta(V)-\delta(U)$, entonces no es un grupo único homomorphism $\operatorname{k-vect^f}\to G$ que se asigna \begin{equation} \chi_{K}(V_\bullet)\mapsto \chi_{G}(V_\bullet):=\sum(-1)^j\delta(V_j). \end{equation}

Tenga en cuenta que el original de la característica de Euler se obtiene mediante la toma de $\delta(V)=\operatorname{dim}(V)$.

Todo esto parece impresionante, pero no iba a ser poderoso si no tiene un suministro de otros $\delta$ a otras funciones que no $\operatorname{dim}$. Por desgracia, no podía pensar de interesantes ejemplos de tales funciones.

Alguien puede dar algunos buenos ejemplos? Quizás $\operatorname{k-vect^f}$ no es tan buena debido a que su grupo de Grothendieck es demasiado simple, por lo que los ejemplos de las otras categorías también son bienvenidos.

Muchas gracias!

Answer 1

Esto es lo que esencialmente K-teoría: Clasificar generalizada de Euler características y dimensiones. Y dado que la reducción de la K-teoría de un campo se desvanece, no hay ningún otro generalizada característica de Euler, excepto la inducida por la dimensión (o sus múltiplos). Más precisamente, vamos a $A$ ser arbitraria abelian grupo y $a \in A$. Entonces no hay una única homomorphism $\mathbb{Z} \to A$ asignación de $1 \mapsto a$, que corresponde a un único generalizada característica de Euler de asignación de la $1$-dimensional espacio vectorial a $a$, o más generalmente,$[V]$$\mathrm{dim}(V) \cdot a$. Sólo la dimensión que importa aquí, y no hay nuevas interesante invariantes pueden surgir.

Al igual, el isomorfismo $K(\mathsf{FinAb}) \cong (\mathbb{Q}^+,*)$ muestra que el orden es esencialmente la única generalizada de Euler característica definida en finitos abelian grupos.

Otras categorías exactas proporcionar más interesante invariantes. Pero ni siquiera me voy a tratar de enumerar aquí, porque no es posible y hay, por supuesto, un montón de libros interesantes sobre la K-teoría de la que se puede consultar (Rosenberg, Bajo, Weibel, etc.). Tal vez usted puede enfocar su pregunta un poco, o hacer una nueva pregunta.