Aplicaciones de la geometría no conmutativa

Question

Esto está relacionado con la pregunta de Anweshi sobre teorías de la geometría no conmutativa .

Empecemos diciendo que vivo, en su mayoría, en un universo conmutativo. Los únicos anillos no conmutativos con los que tengo mucho que ver son los supercomutativos, los casi conmutativos (filtrados, con grado asociado conmutativo), las álgebras de grupo o las álgebras matriciales, ninguna de las cuales muestra realmente muchas de las verdaderas dificultades de las cosas no conmutativas.

Así que esta es mi pregunta (un tanto enjundiosa): ¿para qué sirve la geometría no conmutativa?

Para ser un poco más preciso, tengo la vaga sensación de que $C^*$ se supone que funciona bien en la mecánica cuántica, pero estoy algo más interesado en la geometría algebraica no conmutativa. ¿Qué tipo de problemas resuelve que no podemos resolver sin salir del mundo conmutativo? ¿Por qué debería, digamos, un geómetra algebraico complejo aprender algo de geometría no conmutativa?

Answer 1

Charles,

un par de razones por las que un geómetra algebraico complejo (ciertamente alguien que interesado en los espacios de moduli de los haces vectoriales, como me dice su perfil) podría al menos mantener un veredicto abierto sobre las cosas que los geómetras algebraicos NC (NCAGers de ahora en adelante) están tratando de hacer.

En los últimos años se ha avanzado mucho en la comprensión de los espacios de moduli de representaciones semi-estables de álgebras "formalmente suaves" (pensemos en "suaves" en el mundo NC). en particular en lo que se refiere a su estructura local etale y a su racionalidad. Por ejemplo, hay este libro por alguien.

esto puede no parecerle terriblemente relevante hasta que se da cuenta de que algunas de las interesantes de la geometría algebraica se encuentran entre los estudiados. espacio de moduli de los haces semi-estables de rango n de grado 0 sobre una curva de género g es el espacio de moduli de representaciones de un determinado vector de dimensión sobre una determinada álgebra formalmente suave, como demostró Aidan Schofield. También aplicó esto a los resultados de racionalidad sobre estos espacios.

Asimismo, el espacio de moduli de los haces vectoriales semi-estables de rango n en el plano proyectivo con clases de Chern c1=0 y c2=n es biracional al de las representaciones semisimples de n dimensiones del álgebra libre El problema de racionalidad correspondiente ha sido estudiado por los NCAG (también conocidos como "teóricos del anillo") desde principios de los años 70. en su momento) desde principios de los años 70 (trabajos de S.A. Amitsur, Claudio Procesi y Ed Formanek). por sus resultados, los NCAGers sabíamos que el método de "prueba" de Maruyama de su racionalidad estable a mediados de los 80, no podía funcionar.

es bastante irónico que los mejores resultados de racionalidad en estos espacios de moduli (de haces sobre el plano proyectivo) no se deban a AGers sino a NCAGers: Procesi para n=2, Formanek para n=3 y 4 y Bessenrodt y algún tipo para n=5 y 7. Junto con un resultado de Aidan Schofield estos resultados muestran que este espacio de moduli es establemente racional para todos los divisores n de 420.

Además, lo que para ti es una resolución crepitante de una singularidad cotizada, para NCAGers es el espacio de moduli de ciertas representaciones de un bonito álgebra no conmutativa sobre la singularidad.

Asimismo, cuando ustedes, los AG, murmuran "pila de Deligne-Mumford", nosotros, los NCAG, decimos "¡ah! un álgebra no conmutativa".

Answer 2

Una aplicación genial que puedo apreciar de alguna manera es la prueba de dimensión de Van den Bergh $3$ caso de la conjetura de Bondal-Orlov de que dos variedades suaves biracionales de Calabi-Yau $X,X'$ tienen una categoría derivada equivalente $D(X) \sim D(X')$ . Obsérvese que como se puede construir el anillo pluricanónico a partir de $D(X)$ Esto es una generalización de la conjetura de Batyrev de que tienen los mismos números de Hodge. La dimensión $3$ El caso fue probado por primera vez por Bridgeland pero la prueba de Van den Bergh utiliza cosas no conmutativas de forma muy concreta. Se pueden encontrar algunas referencias en este pregunta Pregunté.

Se trata de lo siguiente: mediante algún programa de modelo mimético resulta, en la dimensión $3$ cualquier biracional $X,X'$ están relacionados por una serie de flops $X \to Y \leftarrow X^+$ . Así que sólo tenemos que demostrar $D(X) \sim D(X^+)$ . Entonces se construye un haz vectorial especial (suma de una colección excepcional de haces de líneas en este caso, ¡algo perverso!) sobre X. Se pasa a $Y$ se obtiene una gavilla coherente $E$ . Sea $A= End(E)$ . Lo curioso es que $D(X) \sim D(A)$ . Tenga en cuenta que $A$ es no conmutativo.

Ahora, haz lo mismo para $X+$ se obtiene $A+$ digamos. Pero es bastante fácil demostrar que $D(A) \sim D(A^+)$ directamente en $Y$ así que hemos terminado. Si llevamos a cabo esto en un flop de Atiyah o la pagoda de Reid, se puede ver realmente que $A$ y $A+$ son los mismos. Esto indica que la vía no conmutativa puede simplificar las cosas.

Parece que hay muchos expertos en este sitio, así que seguramente obtendrás muchas respuestas mucho mejores. Pero este ejemplo me parece de lo más realista, y las conjeturas provienen de la geometría compleja (¿motivada por la física?), así que espero que también te ayude.

EDIT: aquí hay algo que complementa la gran respuesta de Lieven arriba: dado $A$ uno puede realmente construir de nuevo $X$ como un espacio de moduli de ciertas representaciones de A (véase la sección 6 de este ). Se necesita $A$ para tener una dimensión global finita por lo que $X$ puede ser suave (el hecho de que $X$ es suave se demuestra a través de la muy algebraica teorema de la intersección ). En la dimensión $3$ Este ejemplo explica la frase de Lieven:

Además, lo que es para ti una resolución crepuscular de una singularidad cotizada, es para NCAGers el espacio de moduli de ciertas representaciones de un bonito álgebra no conmutativa sobre la singularidad.

Answer 3

Como mencioné en mi post sobre la otra pregunta, hay dos aplicaciones muy fértiles a la Geometría Algebraica No Conmutativa al estilo de A. Rosenberg;

1. Teoría de la representación
2. Física

En mi post de allí proporcioné referencias para ambos, pero aquí hay algunas de nuevo

1. Teoría de la representación: En primer lugar , Segundo .
2. La física: En primer lugar , Segundo , Tercero .

Answer 4

Porque hay varias aproximaciones a la geometría algebraica no conmutativa. Sólo hablaré brevemente de la motivación de la máquina de Rosenberg (geometría categórica) y de la máquina de Kontsevich-Rosenberg (punto de vista del functor).

La principal motivación del enfoque de Rosenberg es la teoría de la representación. El espectro de la categoría abeliana es una noción importante en este enfoque que proporciona el lenguaje adecuado para hablar de las representaciones irreducibles. Por ejemplo, digamos un módulo sobre un álgebra no conmutativa. Así que las representaciones irreducibles de esta álgebra no conmutativa son uno a uno correspondientes a los puntos cerrados de este espectro. Si tenemos un álgebra no conmutativa A, y tenemos una subálgebra B (no cualquier subálgebra, la elección de B depende de un teorema demostrado en este marco). Lo que siempre hacemos es construir representaciones de A a partir de representaciones de B(lo que se llama inducción). Utilizando el lenguaje del espectro de la categoría abeliana. Este proceso de inducción puede verse como el morfismo de espectro de B-mod a espectro de A-mod. ¿Por qué es bueno? Rosenberg desarrolló una máquina que se ocupa de estas cosas. Demostró un teorema (no lo mencionaré por el momento) que permite construir todas las representaciones irreducibles de A a partir de representaciones irreducibles de B (lo cual es fácil de ver) de una manera muy functorial. Este teorema es como un algoritmo. Usando este método, también podemos encontrar algunas representaciones genéricas de B(que corresponden a los puntos genéricos del espectro).

De hecho, introdujo una clase de álgebra llamada álgebra hiperbólica (otras personas la llamaron álgebra de Weyl generalizada). Muchas álgebras asociativas no conmutativas de la teoría de la representación y la física matemática son de esta clase. Por ejemplo, el álgebra n-ésima de Weyl, el álgebra de Heisenberg, el álgebra envolvente del álgebra de Lie y su análogo cuántico. Uno puede usar la máquina que desarrolló para construir todas las representaciones irreducibles de estas álgebras muy fácilmente y canónicamente (me gustaría decir que es de alguna manera como la forma de los "autómatas").

Me gustaría señalar que lo que he dicho anteriormente es cómo la teoría espectral de la categoría abeliana entra en la teoría de la representación. Pero esto es sólo el comienzo de este juego. Una maquinaria más interesante en este marco es que uno puede reducir la representación de alguna álgebra asociativa (digamos el álgebra envolvente del álgebra de Lie o el análogo cuántico) a representaciones de álgebras hiperbólicas (digamos, el álgebra de Weyl y algunas otras). Esta historia es muy interesante porque este proceso puede ser visto como encontrar una cubierta afín para el esquema no conmutativo:

Permítanme que me explaye un poco: Es bien conocido por todos los teóricos de la representación, tenemos la localización de Beilinson-Bernstein para el álgebra de Lie. Desde el punto de vista de la geometría algebraica no conmutativa, la categoría de módulos D en la variedad bandera del álgebra de Lie es un cierto tipo de esquema proyectivo no conmutativo. Podemos construir la cubierta afín (módulo D sobre espacio afín) para este esquema proyectivo no conmutativo que es la categoría de módulo sobre el álgebra de Weyl. Ahora, hemos reducido las representaciones del álgebra de Lie a las representaciones del álgebra de Weyl. Entonces, utilizando la maquinaria de encolado de Rosenberg (aplicación del teorema de Barr-Beck). Podemos construir representaciones irreducibles del álgebra de Lie (global) a partir de las del álgebra de Weyl (local). Además, para el grupo cuántico, podemos aplicar este marco directamente para obtener representaciones del grupo cuántico (esquema no conmutativo) a partir de representaciones del álgebra del operador diferencial cuántico (análogo del álgebra de Weyl) (cubierta afín).

Answer 5

No creo que la NCG haya surgido como una forma de resolver problemas de geometría algebraica utilizando nuevos métodos. La motivación parece ser la de ampliar más sus horizontes.

La respuesta de Bischof a la pregunta que has citado, da muchos puntos de contacto con temas clásicos de la geometría algebraica como la teoría de la deformación, la teoría de invariantes, los espacios de moduli, etc.

Ver también este artículo de Lieven le Bryun, en el que habla de puntos que pueden "hablar entre sí" a través de información tangencial común. En otras palabras, el "Teorema del Resto Chino" falla para los anillos no conmutativos y, por tanto, los puntos pueden estar muy cerca unos de otros. Esta es una forma más interesante de ver los espacios más generales.

Le sugiero que examine más formalmente el "toro no conmutativo", que es un ejemplo muy importante en NCG. Este espacio es un ejemplo por excelencia de la propiedad mencionada de que los puntos están muy cerca unos de otros.

Por otra parte, con los temas más abstractos de la geometría algebraica, las n-categorías, las pilas y todas esas cosas, estos desarrollos podrían trasladarse a la geometría no conmutativa, y como la NCG está en el centro de muchos desarrollos de la física, podría dar maravillosas aplicaciones a la teoría de cuerdas, etc., y en una comprensión más profunda de nuestro mundo físico.