Estaba leyendo "Sobre la historia de las conjeturas de Weil" de Dieudonne y encontré dos cosas que me sorprendieron. Dieudonné hace algunas afirmaciones sobre el trabajo de Artin y Schmidt que sin duda son correctas, pero no da referencias, y la idea de revisar las obras recopiladas de Artin me parece un poco desalentadora, así que pensé en preguntar aquí primero.
Antecedentes.
Si $V$ es una curva suave (afín o proyectiva) sobre un campo finito $k$ de tamaño $q$ entonces $k$ tiene (hasta el isomorfismo) una extensión única $k_n$ de grado $n$ en $k$ (así $k_n$ tiene tamaño $q^n$ ) y se puede definir $N_n$ para ser el tamaño de $V(k_n)$ . De forma totalmente concreta, quizá se pueda imaginar el caso de que $V$ se define mediante una ecuación en el espacio afín o proyectivo 2, por ejemplo $y^2=x^3+1$ (nótese que esta ecuación dará una curva suave en el espacio afín 2 para $p$ la característica de $k$ suficientemente grande), y simplemente contar el número de soluciones de esta ecuación con $x,y\in k_n\ $ para conseguir $N_n$ . Sea $F_V(u)=\sum_{n\geq1}N_nu^n$ denotan la serie de potencias formal asociada a esta función de recuento.
Ahora resulta que del "formalismo de las funciones zeta" resulta que esta no es la forma más ideal de empaquetar la información del $N_n$ , uno realmente quiere estar haciendo un producto sobre puntos cerrados de su variedad. Si $C_d$ es el número de puntos cerrados de $V$ de grado $d$ , es decir, el número de puntos cerrados $v$ de (el espacio topológico subyacente al esquema) $V$ tal que $k(v)$ es isomorfo a $k_d$ entonces uno quiere realmente definir $$Z_V(u)=\prod_{d\geq1}(1-u^d)^{-C_d}.$$ Si uno pone $u=q^{-s}$ entonces es un análogo de la función zeta de Riemann, que es un producto sobre puntos cerrados de $Spec(\mathbf{Z})$ de una cosa análoga.
Ahora la relación (fácil de comprobar) entre el $C$ s y el $N$ es que $N_n=\sum_{d|n}dC_d$ y esto se traduce en una relación entre $F_V$ y $Z_V$ de la forma $$uZ_V'(u)/Z_V(u)=F_V(u).$$
Esta relación también significa que se puede calcular $Z$ dado $F$ : se divide $F$ por $u$ integra formalmente, y luego exponentiza formalmente; esto funciona porque $f'/f=(\log(f))'$ .
La razón por la que digo todo esto es para subrayar que esta parte de la teoría es completamente elemental.
Las conjeturas de Weil en este escenario.
Las conjeturas de Weil implican que para $V$ como en el caso anterior, la serie de potencias $Z_V(u)$ es en realidad una función racional de $u$ y hacer varias afirmaciones concretas sobre su forma explícita (y en particular la ubicación de los ceros y los polos). Obsérvese que suelen enunciarse para variedades proyectivas lisas, pero en el caso de las curvas afines se puede tomar el modelo proyectivo liso para $V$ y luego simplemente tirar el finitely muchos puntos adicionales que aparecen para ver que $Z_V(u)$ es una función racional también en este caso.
¿Cómo probar los casos especiales en 1923?
Bien, esta es la pregunta. Es 1923, estamos considerando curvas afines o proyectivas completamente explícitas sobre campos finitos explícitos, y queremos comprobar que esta serie de potencias $Z_V(u)$ es una función racional. Dieudonné afirma que Artin lo consigue para curvas de la forma $y^2=P(x)$ para "muchos polinomios $P$ de bajo grado". ¿Cómo podemos hacerlo? En $P$ de grado 1 ó 2, la curva es biracional al espacio proyectivo 1 y la historia es fácil. Para $V$ es igual al espacio proyectivo 1, tenemos $$F_V(u)=(1+q)u+(1+q^2)u^2+(1+q^3)u^3+\ldots=u/(1-u)+qu/(1-qu)$$ de lo que se deduce fácilmente de la discusión anterior que $$Z_V(u)=1/[(1-u)(1-qu)].$$ Para los polinomios $P$ de grado 3 ó 4, la curva tiene género 1 y de nuevo puedo imaginar cómo Artin podría haber abordado el problema. La curva será birracional a una curva elíptica, y se elevará a una curva de característica cero con multiplicación compleja. Las trazas de Frobenius estarán controladas por el correspondiente carácter de Hecke, un hecho que seguramente no se le habrá escapado a Artin, y puedo creer que ahora era lo suficientemente inteligente como para juntarlo todo.
Para polinomios de grado 5 o más, dado que estamos en 1923, el problema parece formidable.
P1) Cuando Dieudonné dice que Artin verificó (algún trozo de) las conjeturas de Weil para "muchos polinomios de bajo grado", ¿quiere decir "de grado a lo sumo 4", o realmente Artin pasó al género 2?
¿Cuánto más lejos podemos llegar en 1931?
Este sí que me ha sorprendido. Dieudonné afirma que en 1931 F. K. Schmidt demostró la racionalidad de $Z_V(u)$ más la ecuación funcional, más el hecho de que $Z_V(u)=P(u)/(1-u)(1-qu)$ , para $V$ una curva proyectiva suave arbitraria, y que demostró $P(u)$ era un polinomio de grado $2g$ con $g$ el género de $V$ . Esto ya es una gran parte de las conjeturas de Weil. Nos falta la afirmación de que $P(u)$ tiene todas sus putrefacciones de tamaño $q^{-1/2}$ (la "hipótesis de Riemann"), pero esto es comprensible: se necesita una buena cantidad de maquinaria para demostrarlo. Lo que me sorprendió (en mi ingenuidad) es que había asumido que todo esto se debía a Weil en los años 40 y obviamente estoy equivocado: "todo lo que hizo Weil" fue demostrar la HR. Así que tengo una pregunta de historia muy básica:
P2) Sin embargo, ¿Schmidt hizo esto?
EDIT: breve resumen de las respuestas a continuación (y lo que he aprendido al buscar las referencias):
A1) Artin no hizo nada de lo que sugerí. Podía calcular explícitamente la función zeta de una curva hiperelíptica dada arbitrariamente sobre un campo finito dado mediante una elegante aplicación de la reciprocidad cuadrática. Véase, por ejemplo, el primero de los tres artículos de Roquette. El método, en teoría, funciona para todos los géneros, aunque los cálculos se vuelven rápidamente tediosos.
A2) Riemann-Roch. Expresar el producto que define $Z$ como una suma infinita y luego usar la cabeza.
