composición de funciones de conjuntos finitos frente a infinitos

Question

Si hay un conjunto $X$ que es finito con $f : X \rightarrow X$ y $g: X \rightarrow X$ entonces $f \circ g = 1_X$ si $g \circ f = 1_X$ . ¿Cómo es de cierto para los conjuntos finitos?

No estoy muy seguro, pero la única manera que veo de que sea cierto es si g=f pero no estoy seguro de cómo ir a demostrarlo. ¿A dónde voy desde aquí (si es que tengo razón)?

A la inversa, ¿se mantiene esto para los conjuntos infinitos?

Answer 1

Si $f\circ g=1_X$ Entonces sabes que $f$ es suryente y $g$ es inyectiva.

Además, en conjuntos finitos, se sabe que una función es suryectiva si y sólo si es inyectiva...

Sin embargo, esto no es válido para los conjuntos infinitos.

Por ejemplo, defina $g(n)=n+1$ para todos los valores $n\in\mathbb N$ . Además, defina $f(n)=n-1$ para todos los valores $n\in\mathbb N$ excepto $1$ y definir $f(1)=1$ .

Entonces, tienes $f(g(n))=n$ para todos $n$ pero tienes $g(f(1)) = g(1)=2\neq 1$ Así que $g\circ f\neq \mathrm{id}_\mathbb N$

Answer 2

Una función entre conjuntos finitos es suryectiva si es inyectiva. Así que supongamos $g(x)=y$ . Entonces $f(y)=x$ porque $x$ es el único elemento para el que $g(x)=y$ y debe ser $g(f(y))=y$ . Así que para todos $x$ $f(g(x))=x$