En un comentario a esta pregunta aparece la cita "La topología de Zariski es la topología 'equivocada' para la geometría algebraica".
Pues bien, surgen algunas preguntas espontáneas:
1) ¿Para qué sirve la topología de Zariski en la geometría algebraica? En otras palabras, ¿qué puede ¿se puede hacer con ella, sin remitirse directamente a algunas topologías más finas de Grothendieck?
2) Por otro lado, ¿qué conceptos que son análogos a conceptos de -por ejemplo- la geometría analítica o la topología, necesitan realmente topologías de Grothendieck más finas para ser generalizadas al entorno algebrogeométrico?
Creo que se podrían mencionar los haces vectoriales para la 1), y los haces principales y proyectivos para la 2). Y también la cohomología para 2), ya que parece que la topología étale es la más adecuada para reproducir una cohomología que se parezca a la singular en el entorno analítico. Y también cohomología de gavillas para 1).
Editar: Creo que también estaría bien que en las respuestas hubiera algún breve comentario sobre la suficiencia (o no) de la topología de Zariski para captar la imagen geométrica esencial tomada de la geometría analítica y/o de la topología sobre (algunos de) los siguientes contextos:
- Parcheando de morfismos
- Teorema de la función inversa y teorema de la función implícita
- Existencia de barrios tubulares (?)
- Reductibilidad local vs. reducibilidad global (ramas analíticas de una variedad en un punto..)
- Propiedades "infinitesimales" dadas por el anillo local en un punto (Zariski vs. Hensel)
- Paquetes vectoriales
- Gavillas coherentes (y Parcheando de ellas...)
- Paquetes principales (trivialidad local...)
- Paquetes proyectivos (como arriba...)
- En general, los haces de fibras "localmente triviales" (isotrivialidad vs. trivialidad...)
- Cohomología de gavillas con coeficientes constantes frente a gavillas coherentes
- Cohomología de Cech (como arriba...)
- Espacios de cobertura y grupo fundamental
- Extracción de información topológica/homotópica mediante coberturas
- (cualquier otro tema que le parezca interesante)
