¿Para qué es buena/mala la topología de Zariski?

Question

En un comentario a esta pregunta aparece la cita "La topología de Zariski es la topología 'equivocada' para la geometría algebraica".

Pues bien, surgen algunas preguntas espontáneas:

1) ¿Para qué sirve la topología de Zariski en la geometría algebraica? En otras palabras, ¿qué puede ¿se puede hacer con ella, sin remitirse directamente a algunas topologías más finas de Grothendieck?

2) Por otro lado, ¿qué conceptos que son análogos a conceptos de -por ejemplo- la geometría analítica o la topología, necesitan realmente topologías de Grothendieck más finas para ser generalizadas al entorno algebrogeométrico?

Creo que se podrían mencionar los haces vectoriales para la 1), y los haces principales y proyectivos para la 2). Y también la cohomología para 2), ya que parece que la topología étale es la más adecuada para reproducir una cohomología que se parezca a la singular en el entorno analítico. Y también cohomología de gavillas para 1).

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Editar: Creo que también estaría bien que en las respuestas hubiera algún breve comentario sobre la suficiencia (o no) de la topología de Zariski para captar la imagen geométrica esencial tomada de la geometría analítica y/o de la topología sobre (algunos de) los siguientes contextos:

• Parcheando de morfismos
• Teorema de la función inversa y teorema de la función implícita
• Existencia de barrios tubulares (?)
• Reductibilidad local vs. reducibilidad global (ramas analíticas de una variedad en un punto..)
• Propiedades "infinitesimales" dadas por el anillo local en un punto (Zariski vs. Hensel)
• Paquetes vectoriales
• Gavillas coherentes (y Parcheando de ellas...)
• Paquetes principales (trivialidad local...)
• Paquetes proyectivos (como arriba...)
• En general, los haces de fibras "localmente triviales" (isotrivialidad vs. trivialidad...)
• Cohomología de gavillas con coeficientes constantes frente a gavillas coherentes
• Cohomología de Cech (como arriba...)
• Espacios de cobertura y grupo fundamental
• Extracción de información topológica/homotópica mediante coberturas
• (cualquier otro tema que le parezca interesante)

Answer 1

Aunque la topología Zariski tiene sus limitaciones, me sorprende lo bien que funciona. Algunos puntos breves en su defensa:

1. Es fácil de definir. En el caso clásico de los espacios afines sobre un campo, es la topología más débil para la que los puntos son cerrados y los polinomios son continuos.

2. Puede utilizarse para dar un significado preciso a la palabra "genérico" o "general", como en "una matriz general es diagonalizable, por lo tanto para demostrar Cayley-Hamilton basta..."

3. Para las gavillas coherentes, es el a la derecha topología; la cohomología funciona como se espera. En un nivel más sofisticado, la cohomología es semicontinua superior en el topología de Zariski, y esto es muy importante para muchos argumentos.

Así que para la generación más joven que está pensando en eliminarlo: por favor no lo hagáis.

Answer 2

La topología de Zariski forma parte de la estructura básica de las variedades y los esquemas. A diferencia de otras topologías de Grothendieck más sofisticadas, es en realidad una topología definida por subconjuntos de la variedad/esquema, por lo que da lugar a la noción de subconjunto cerrado, así como de subconjunto abierto. Los subconjuntos cerrados son los subconjuntos algebraicos (en el caso de las variedades) o (los espacios subyacentes) los subesquemas cerrados (en el caso de los esquemas), de los que trata en gran medida el estudio de la geometría algebraica.

Si usted mira a Hartshorne, capítulos IV y V, usted encontrará un lote de la geometría de las curvas y de las superficies (así como algo de geometría de las variedades de dimensión superior también), todo ello tratado sin recurrir a ninguna topología que no sea la de Zariski.

Añadido: Un buen ejemplo, en mi opinión, es la prueba (directa) de que la ley de adición en una curva cúbica plana suave es asociativa. (Por directa, me refiero a la prueba que parte de la definición de la ley de grupo en términos de puntos colineales, no a la prueba más complicada que procede identificando la curva con su variedad de Picard). No es difícil ver que la asociatividad se mantiene cuando los tres puntos que se suman están en una posición convenientemente general. Para concluir, uno puede hacer complicados argumentos de casos especiales en las diversas situaciones no genéricas, o bien, uno puede hacer un argumento de continuidad en la topología de Zariski. Este último argumento es sencillo (en el sentido de que utiliza los tipos más básicos de argumentos sobre mapas continuos en topología general) y decisivo. Ilustra perfectamente el papel de la topología de Zariski en los argumentos geométricos.

Se podría generalizar a partir de este ejemplo de la siguiente manera: dos de las nociones más fundamentales de la geometría algebraica son los conceptos complementarios de posición general y especial, y estas nociones son precisamente las que captura la topología de Zariski (al igual que la topología sobre un espacio métrico captura la noción de cercanía en la métrica).

Answer 3

Como ha dicho Kevin, los grupos de cohomología superiores de gavillas constantes en variedades irreducibles son cero cuando se trabaja con la topología de Zariski. Además, "los haces de fibras no son localmente triviales" y "el teorema del mapeo inverso falla". En lugar de escribir yo mismo sobre las dos últimas, permítanme remitirles a las maravillosas notas de su compañero de MO JS Milne sobre la cohomología etérea (página 10, La insuficiencia de la topología de Zariski )

Answer 4

(Supongo que esto es una elaboración de uno de sus comentarios en su último párrafo).

Una de las razones por las que la topología de Zariski es "mala" es que las cohomologías superiores ( $H^i$ para $i > 0$ ) de un haz constante sobre un espacio irreducible (en particular variedades irreducibles con la topología de Zariski) son cero, porque tal haz será flasqueado (¡ejercicio!).

Supongo que ésta es una de las motivaciones de la topología etale y de la cohomología etale. La cohomología etale de (ciertas) láminas constantes será no trivial, de hecho, coincidirá con la cohomología singular de la variedad analítica asociada. Este es el "Teorema de la Comparación", ver por ejemplo el libro de Milne sobre cohomología etale para los detalles.

Answer 5

La geometría algebraica no es mi campo en absoluto, pero parece que esto es un poco de una respuesta, y realmente no sé los detalles, pero tal vez alguien puede llenar en. La topología de Zariski no sirve para hacer teoría de homotopía. Esto lo he escuchado en muchos seminarios, específicamente de alguien que hace teoría de homotopía motivacional. Así que desde esa perspectiva no es la topología adecuada, pero sólo puedo decir que he oído esto, no que entienda por qué la topología de Zariski es mala. Supongo que ingenuamente parece que sería bastante difícil hacer teoría de homotopía en "cualquier" línea donde tus únicos conjuntos abiertos son complementos finitos.