Un ejercicio que demuestra que $l^1$ no es el dual de $l^\infty$

Question

Hay un hecho bien conocido que $l^1$ no es el dual de $l^\infty$ . Un ejercicio El análisis real de Folland sirve de ejemplo para esto.(Página 192 ex 19)

Definir $\phi_n \in (l^\infty)^*$ por $\phi_n(f)=n^{-1}\sum_1^nf(j)$ Entonces la secuencia ${\phi_n}$ tiene un punto de agrupación débil*. $\phi$ y $\phi$ es un elemento de $(l^\infty)^*$ que no surja de un elemento de $l^1$ .

Mediante el conocimiento del cálculo elemental, no es difícil demostrar que para cada $f\in l^\infty$ la secuencia $\phi_n(f)$ tiene puntos de agrupación, pero no sé cómo determinar un elemento $\phi$ de $(l^\infty)^*$ a través de esto, porque puede haber millones de puntos de cluster. ¿Cómo puedo hacer $\phi$ lineal y acotado?

Answer 1

no es difícil demostrar que para cada $f\in l^\infty$ la secuencia $\phi_n(f)$ tiene puntos de agrupación

Tienes razón, este argumento de cálculo elemental (mirando los valores $\phi_n(f)$ para cada $f$ individualmente) no es suficiente. En su lugar, hay que utilizar el teorema de Alaoglu (5.18 en el libro), que proporciona un punto débil* de agrupación $\phi$ .

No puede haber una forma explícita para $\phi$ porque el axioma de elección es una herramienta esencial para este argumento ( datos precisos y técnicos aquí ). Pero el hecho de que $\phi$ es un punto de cluster de esa secuencia te dice que

1. $\phi$ toma valor $0$ en cada $e_m$
2. $\phi$ toma valor $1$ en la secuencia constante $1,1,\dots$ .

Por lo tanto, $\phi$ no surge de $\ell^1$ .