Resolver la ecuación $xy^2+3y^2-x^2\frac{dy}{dx}=0$

Question

Resolver la ecuación $xy^2+3y^2-x^2\frac{dy}{dx}=0$

$$xy^2+3y^2=\frac{dy}{dx}x^2$$ $$dx(xy^2+3y^2)-x^2 dy=0$$ $$dx\frac{x+3}{x^2}-\frac{1}{y^2}dy=0$$ $$\int \frac{x+3}{x^2}dx=\frac{1}{y^2}dy$$ $$\int \frac{x+3}{x^2}dx= (-x^{-1})(x+3)-\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}(x+3)+\frac{1}{x}$$ $$=-1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x}$$ $$=-1-\frac{2}{x}$$ $$\int \frac{1}{y^2}dy=-y^{-1}$$

Entonces, desde $$\int \frac{x+3}{x^2}dx=\frac{1}{y^2}dy$$ $$-1-\frac{2}{x}=-y^{-1}$$ $$1+\frac{2}{x}=y^{-1}$$ $$\frac{1}{1+2/x}=y$$

Answer 1

$$xy^2+3y^2-x^2\frac{dy}{dx}=0$$ Esta ecuación no es exacta pero es separable: $$(xy^2+3y^2)dx-x^2{dy}=0$$ $$\frac {(x+3)dx}{x^2}-\frac {dy} { y^2}=0$$ Integrar

Answer 2

Después de separar la ecuación $$\int \frac{x+3}{x^2}dx=\int\frac{1}{y^2}dy$$

se equivoca al integrar el lado izquierdo

$$\int \frac{x+3}{x^2}dx= (-x^{-1})(x+3)-\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}(x+3)+\frac{1}{x}$$

Esta integral debe ser $$\int \frac{x+3}{x^2}dx=\int \frac{1}{x}dx+3\int\frac{1}{x^2}dx=\ln|x|-\frac{3}{x}+C$$

de modo que la ecuación se convierte en

$$\ln|x|-\frac{3}{x}+C=-\frac{1}{y} \implies y=\frac{-1}{\ln|x|-\frac{3}{x}+C}$$