Subgrupos de un grupo cíclico y su orden.

Question

Lema $1.92$ en el libro de texto de Rotman (Álgebra Moderna Avanzada, segunda edición) dice,

Dejemos que $G = \langle a \rangle$ sea un grupo cíclico.

(i) Todo subgrupo $S$ de $G$ es cíclico.

(ii) Si $|G|=n$ entonces $G$ tiene un único subgrupo de orden $d$ para cada divisor $d$ de $n$ .

Entiendo que todo subgrupo debe ser cíclico y que debe haber un subgrupo por cada divisor de $d$ . Pero, ¿cómo es ese subgrupo único? Me cuesta entenderlo intuitivamente. Por ejemplo, si miramos el subgrupo cíclico $\Bbb{7}$ Sabemos que hay $6$ elementos de orden $7$ . Así que tenemos seis subgrupos cíclicos diferentes de orden $7$ ¿verdad?

Gracias de antemano.

Answer 1

Dejemos que $d$ sea un divisor de $n=|G|$ . Considere $H=\{ x \in G : x^d =1 \}$ . Entonces $H$ es un subgrupo de $G$ y $H$ contiene todos los elementos de $G$ que tienen orden $d$ (entre otros).

Si $K$ es un subgrupo de $G$ de orden $d$ entonces $K$ es cíclico, generado por un elemento de orden $d$ . Por lo tanto, $K\subseteq H$ .

Por otro lado, $x\in H$ si $x=g^k$ con $0\le k < n$ y $g^{kd}=1$ , donde $g$ es un generador de $G$ . Por lo tanto, $kd=nt$ y así $k=(n/d) t$ . La restricción $0\le k<n$ implica $0\le t<d$ y así $H$ tiene exactamente $d$ elementos. Por lo tanto, $K=H$ .

Answer 2

Supongamos que $\langle a \rangle$ tiene orden $n$ . Si $d \mid n$ entonces $a^{n/d}$ tiene orden $d$ . Cualquier subgrupo de $\langle a \rangle$ es de la forma $\langle a^k \rangle$ para algunos $k \mid n$ . Por lo tanto, si un subgrupo tiene orden $d \mid n$ Debe ser $\langle a^{n/d} \rangle$ .

Tienes razón en que hay $6$ elementos de orden $7$ en un grupo cíclico de orden $7$ pero todos ellos generan el mismo subgrupo cíclico.

Answer 3

Para ayudarte a entender en qué te equivocas, por qué no intentas escribir estos "seis subgrupos diferentes": si $G$ es un grupo cíclico de orden $7$ y $a$ es un generador de $G$ entonces

$$\begin{array}{c|c} \mathsf{\text{Subgroup of }}G\mathsf{\text{ generated by}} & \mathsf{\text{consists of}}\\\hline a \strut & a,\; a^2,\;a^3,\; a^4,\; a^5,\;a^6,\;a^7=e\\\hline a^2 \strut& \\\hline \vdots \strut&\\\hline a^6\strut & \\\hline \end{array}$$

Answer 4

Sugerencia $\ $ La idea clave para $\,\Bbb Z/n\,$ es lo mismo que la prueba de $\,\Bbb Z\!:\,$ dado que un subgrupo S es cerrado bajo sustracción, cada elemento de S es un múltiplo del menos elemento $> 0$ (utilizando representantes $\ge 0$ ).

Answer 5

Supongamos que $|G| = n$ y $G = \langle a \rangle = \{e,a,\ldots,a^{n-1}\}$ . Si $d$ divide $n$ entonces el subgrupo $\langle a^{n/d} \rangle$ tiene orden $d$ . A la inversa, supongamos que $H = \langle g \rangle$ es un subgrupo de orden $d$ (sabemos que es cíclico por la primera parte). Ahora sabemos que $g = a^{k}$ para algunos $1 \leq k \leq n-1$ . Si $H$ tiene orden $d$ , puede $k$ ser otra cosa que $n/d$ ?