¿Qué curva describirá un kayak si el palista apunta con su proa a un objeto en una orilla lejana por delante y mantiene la proa apuntando a ese objeto mientras rema hacia él con velocidad constante, en presencia de una deriva lateral debida a una corriente o viento constantes? Definitivamente no es una línea recta. ¿Es una curva común? Si no es así, ¿tiene algún nombre?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
$\def\r{{\bf r}} \def\v{{\bf v}}$ Como menciona Peter Tamaroff, este problema es una ligera generalización de este .
Sin pérdida de generalidad, supongamos que la orilla está en el origen, la inicial $x$ coordenada es $x_0=1$ y la corriente está en el $y$ dirección.
La ecuación diferencial relevante está acoplada y es no lineal, $$\begin{eqnarray*} \frac{d\r}{dt} &=& \v_c + \v_r \\ &=& \v_c - v_r \frac{\r}{r}, \end{eqnarray*}$$ donde $\r$ es la posición del remero, $\v_c$ es la velocidad de la corriente, y $\v_r$ la velocidad del remero. La condición $\v_r = - v_r \frac{\r}{r}$ se impone ya que el remero siempre está remando hacia el origen. Nótese que $\v_c$ y $v_r$ son constantes, pero que $\r$ y $r$ (y por lo tanto $\v_r$ ) varían con el tiempo.
En los componentes, $$\begin{eqnarray*} \frac{d x}{d t} &=& - v_r \frac{x}{r} \\ \frac{d y}{d t} &=& v_c - v_r \frac{y}{r}. \end{eqnarray*}$$ Así, $$\begin{equation*} \frac{d y}{d x} = \frac{y - \rho r}{x},\tag{1} \end{equation*}$$ donde $\rho = v_c/v_r$ . Recordemos que $r = \sqrt{x^2+y^2}$ . Con un inteligente cambio de variables, esta ecuación diferencial no es demasiado difícil de resolver. (Dejemos $y(x) = x u(x)$ e integrar). Véase aquí por ejemplo. El resultado es $$y(x) = x \sinh(\sinh^{-1}(y_0) - \rho\log x).$$ Esto se puede masajear un poco. Encontramos $$\begin{equation*} y(x) = \frac{x}{2} \left(\sqrt{1+y_0^2}\left(x^{-\rho}-x^\rho\right) + y_0\left(x^{-\rho}+x^\rho\right)\right).\tag{2} \end{equation*}$$ Como menciona Rahul Narain en los comentarios, este es un simple ejemplo de un curva de persecución .
Algunos datos clave: $$\begin{eqnarray*} y(1) &=& y_0 \\ y(x) &=& y_0 x, \textrm{ if }\rho=0 \textrm{ (we row in a straight line if } v_c = 0) \\ y(0) &=& 0, \textrm{ if } |\rho| < 1 \textrm{ (we make it to the shore if } v_c<v_r) \\ y(0) &=& \frac{1}{2}\left(y_0 + \sqrt{1+y_0^2}\right), \textrm{ if } \rho =1 \textrm{ (we don't make it to the shore if } v_c\ge v_r) \\ y(x) &=& \frac{x}{2} \left(x^{-\rho}-x^\rho\right), \textrm{ if } y_0 = 0. \end{eqnarray*}$$ El último resultado es equivalente al derivado por robjohn en su excelente respuesta a la pregunta mencionada anteriormente.
A continuación, ofrecemos algunos ejemplos de trayectorias. La corriente es el positivo $y$ dirección.
Figura 1. $y_0 = 0$ , $\rho = 0,0.125,0.25,\ldots,1, 1.125,1.25$
Figura 2. $y_0 = 0.15$ , $\rho = 0,0.125,0.25,\ldots,1, 1.125,1.25$
Figura 3. $y_0 = 2$ , $\rho = 0,0.125,0.25,\ldots,1, 1.125,1.25$
