Significado físico de las condiciones de contorno en la ecuación de difusión

Question

Quiero simular numéricamente la ecuación de difusión.

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$

Con la condición límite

$$ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=R}=0 $$

Tengo un problema conceptual con las condiciones de contorno.

El libro que estoy leyendo parece implicar que esta condición de contorno impide que nada salga del sistema, es decir, el borde de mi tubo de ensayo.

Para mí significa simplemente que no hay cambio de concentración con respecto a la posición en el punto $x=R$ . La concentración podría cambiar con el tiempo, etc., pero no con la posición. Para mí significaría que la concentración es la misma en un lado del tubo de ensayo que en el otro.

¿Podría alguien ayudarme a entender cómo esta condición de contorno implica que nada sale del sistema?

Gracias

Answer 1

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{-\,\partiald[2]{{\rm u}\pars{x,t}}{x} + \partiald{{\rm u}\pars{x,t}}{t} = 0}$ lleva a $\ds{\partiald{}{x}\bracks{\color{#f00}{-\partiald{{\rm u}\pars{x,t}}{x}}} + \partiald{{\rm u}\pars{x,t}}{t} = 0}$ que es el Ecuación de continuidad que garantiza el número de conservación de las partículas. En particular, $\ds{{\rm J}_{x}\pars{x,t} = \color{#f00}{-\partiald{{\rm u}\pars{x,t}}{x}}}$ es el Partícula actual $\ds{x}$ -componente.

$\ds{\color{#f00}{\left.-\,\partiald{{\rm u}\pars{x,t}}{x}\right\vert_{x\ =\ R}} = 0}$ garantiza que las partículas no cruzan la frontera en $\ds{x = R}$ . En otras palabras, el "muro" en $\ds{x = R}$ confina las partículas.

Answer 2

Básicamente significa que el flujo a través de la frontera R es cero. Lo que significa que no hay diferencia de concentración (si u es concentración para la Ecuación de Difusión) a través de la pared. Si no hay cambio de concentración entonces no hay nada que salga/entre a través de este límite. Porque la difusión es impulsada por la concentración. Por lo tanto, este es un límite de barrera. (El gradiente de concentración es cero sólo en el límite)

Si u es la temperatura, significa que no hay diferencia de temperatura a través de este límite y el flujo de calor es cero. Esto puede considerarse como un aislamiento perfecto. (El gradiente de temperatura es cero a través de la frontera)

Si u es la presión, se trata de una frontera sin flujo y, como no hay diferencia de presión a través de la frontera, ningún fluido puede entrar/salir. Esto se debe a que el flujo de los fluidos depende de la diferencia de presión (gradiente de presión).

Answer 3

Estas condiciones de contorno son simuladas por el paseo aleatorio que refleja en la frontera. Es decir, las partículas difusoras chocan elásticamente con el límite.