Probar $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad implica que el conjunto abierto de la definición de función real

Question

Necesito demostrar que la $\epsilon$-$\delta$ definición de continuidad implica que el conjunto abierto de la definición de continuidad de una función real. Aquí está mi intento.

Para cualquier base $V: (a, b)$ en el rango, para cada una de las $f(x) \in V$,
deje $\epsilon = \min(f(x) - a, b - f(x))$, entonces para cualquier $x$ que $f(x) \in V$ según el $\epsilon-\delta$ definición de continuidad debe existe un $\delta$ que el conjunto abierto $U_x : (x - \delta, x + \delta) \subset f^{-1}((f(x) - \epsilon, f(x) + \epsilon)) \subset f^{-1}(V)$
En conclusión, $$f^{-1}(V) = \bigcup_{x \in f^{-1}(V)} U_x .$$ $f^{-1}(V)$ es un conjunto abierto. Entonces para cualquier conjunto abierto $W$, $$f^{-1}(W) = \bigcup_{V \subset W} f^{-1}(V)$$ $f^{-1}(W)$ es un conjunto abierto. Así que para cualquier abierto $W$, $f^{-1}(W)$ también es un conjunto abierto. Este es exactamente el conjunto abierto de la definición de continuidad. QED.

Es mi respuesta correcta? Gracias.

Answer 1

Desde la OP del trabajo fue revisado ya en los comentarios, yo me encargo de todo el argumento en el caso de que los futuros visitantes encontrarán útil.

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Si $f$ es $\varepsilon$-$\delta$-continua, entonces es libre juego continuo. Supongamos $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es continua por la $\varepsilon$-$\delta$ definición; queremos demostrar que es continua por la open conjuntos de definición.

Tomar cualquier conjunto abierto $V \subseteq \mathbb R$; queremos demostrar a $f^{-1}(V)$ está abierto. Esto es cierto si $f^{-1}(V)$ está vacía, así que asumen $x \in f^{-1}(V)$. Desde $f(x) \in V$ $V$ es abierto, existe alguna $\varepsilon > 0$ tal que $(f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon) \subseteq V$. Por la continuidad en $x$, existe alguna $\delta > 0$ tal que $(x - \delta, x+ \delta) \subseteq f^{-1}(V)$. Es decir, $x$ es un punto interior de a $f^{-1}(V)$. Como esto es cierto para arbitrario $x \in f^{-1}(V)$, se deduce que el $f^{-1}(V)$ está abierto.

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Si $f$ es de conjunto abierto-continua, entonces es $\varepsilon$-$\delta$-continua. Supongamos $f : \mathbb R \to \mathbb R$ es continua por la open ajusta a la definición; queremos demostrar que es continua por la $\varepsilon$-$\delta$ definición.

Fix$x \in \mathbb R$$\varepsilon > 0$. A continuación, $(f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon)$ es un conjunto abierto en $\mathbb R$ (que contiene a $f(x)$). Por la continuidad, $U = f^{-1}((f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon))$ es un conjunto abierto en $\mathbb R$. Es fácil ver que $U$ contiene $x$; a continuación, $x$ es un punto interior de a $U$ por la apertura de $U$. Es decir, existe $\delta >0$ tal que $(x - \delta, x+\delta) \subseteq U = f^{-1}((f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon))$. Luego de ello se sigue que $f((x - \delta, x+\delta)) \subseteq (f(x) - \varepsilon, f(x) + \varepsilon)$.