¿Cómo encontrar el conjunto de todos los puntos de un submanifold que minimizan la distancia a un punto dado?

Question

Tengo el siguiente conjunto $M$ definido como el conjunto de todos los puntos $(x,y,z)$ tal que $ x^2+y^2-z^2=-1$ . Y me hacen las siguientes tres preguntas :

a) Demuestre que se trata de un submanifold de $R^3$
b) Encuentra su espacio tangente en el punto (2,2,3)
c) Encuentre el conjunto de todos los puntos $p_0 \in M$ que minimiza la distancia al punto $q= (0,0,4)$

Me gustaría saber si mis procedimientos para a) y b) son correctos, y cómo debo proceder exactamente para c)

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a) Para demostrar que se trata de un submanifold, basta con tomar la derivada de $f(x,y,z) = x^2+y^2-z^2+1$ y ponerlo a cero. Luego tenemos que comprobar que los resultados no están contenidos en el conjunto. Así que $(2x,2y,-2z)=(0,0,0)$ Así que el único punto es $(0,0,0)$ que no está contenido en nuestro conjunto (obtenemos $0=-1$ lo cual es obviamente erróneo)

b) Encontrar su espacio tangente al punto $(2,2,3)$ introducimos nuestro punto en nuestra derivada y encontramos su núcleo. Así obtenemos $(4,4,-6)=(0,0,0)$ . Si resolvemos esto, obtenemos $(-1,1,0)$ y $(\frac{3}{2},0,1)$ . Ahora el espacio tangente a este punto es simplemente el tramo de estos dos vectores.

c) Ahora mi problema está aquí. No pude encontrar un ejemplo en mi libro sobre este paso. Había ejemplos para a) y b), pero nada para c). ¿Debo utilizar de alguna manera $d=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2)+(z-z_0)^2)}$ ?
Además, he buscado en Internet pero no he encontrado ejemplos "prácticos/de tipo informático" para esta pregunta. Encontré muchas definiciones abstractas pero ningún ejemplo real, por eso pregunto.

Gracias por su ayuda.

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Editar : Vale, por si esto ayuda a alguien en el futuro. Lo que se espera en c) es que utilicemos la fórmula de la distancia al cuadrado (para hacer la vida más sencilla), es decir $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2$ entonces nuestro vector de q a p es $(x-0)^2+(y-0)^2+(z-4)^2$ cuyo gradiente es $(2x, 2y, 2z-8)$ . La idea es utilizar el multiplicador de Lagrange con el conjunto M (es decir $x^2+y^2-z^2+1$ ) como una restricción. Así que obtenemos como en los comentarios $(2x, 2y, 2z-8)= \lambda (2x, 2y, -2z)$ lo que da como resultado después de resolver : $z=2$ y x e y son variables libres. A continuación, se introduce $z=2$ en nuestro conjunto M, lo que da el círculo $x^2+y^2=3$ . Así, todos los puntos que minimizan la distancia son $(\sqrt{3}cos(\theta), \sqrt{3}sin(\theta), 2)$ .

Quizá esto ayude a alguien en el futuro.

Answer 1

b) Para encontrar su espacio tangente al punto (2,2,3), introducimos nuestro punto en nuestra derivada y encontramos su núcleo. Así obtenemos (4,4,-6)=(0,0,0). Si resolvemos esto, obtenemos (-1,1,0) y (32,0,1). Ahora el espacio tangente a este punto es simplemente el tramo de estos dos vectores".

Tengo tres correcciones aquí.

La primera es que "it's" significa "it is"; las formas posesivas de los pronombres no llevan apóstrofes. La palabra que debes usar es "su".

En segundo lugar, la declaración $(4,4,−6)=(0,0,0)$ es falso. Creo que querías decir que $v$ está en el núcleo si y sólo si $(4,4,−6) \cdot v=(0,0,0)$ .

Tercero, si resolvemos esa ecuación correctamente escrita, no sólo obtenemos $(−1,1,0)$ y $(32,0,1)$ --- obtenemos todos los vectores de la forma $a(−1,1,0) + b (32,0,1)$ (donde $a$ y $b$ son números reales arbitrarios). ¿Qué tipo de resultado habrías obtenido si hubieras hecho la afirmación igualmente correcta de que "si resolvemos esto, obtenemos $(-1, 1, 0)$ y $(4, -4, 0)$ "?

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En cuanto a la parte 3, aquí hay una gran pista: si $p \in M$ es lo más parecido a $q$ entonces

1. el vector de $p$ a $q$ es perpendicular al plano tangente en $p$ y
2. el punto $p$ satisface la ecuación definitoria de $M$ .

Comentario posterior a la adición

Ahora que parece que has resuelto el problema usando Lagrange, voy a seguir con lo que sugería. Dejemos que $p = (x, y, z)$ . Entonces la condición $1$ dice que el vector $$ v = (x, y, z-4) $$ de $q$ a $p$ debe ser paralela al vector normal en $p$ que es proporcional a $$ n = (x, y, -z) $$ Así que sabemos que $v$ es un múltiplo de $n$ , digamos que $$ (x, y, z-4) = \lambda(x, y, -z) $$ ...que es exactamente la misma ecuación que se te ocurrió usando los multiplicadores de Lagrange. Y el álgebra es toda la misma forma de aquí en adelante.

¿Por qué obtenemos la misma ecuación? Porque el gradiente [es decir, la dirección de mayor crecimiento] (en un punto $p$ ) de la "distancia de $p$ a un punto fijo $q$ "es exactamente un múltiplo del rayo de $q$ a $p$ si quieres aumentar esa distancia más rápido, ¡te mueves en la dirección de ese rayo!