Estoy estudiando los límites multivariables del texto Cálculo vectorial por S.J. Colley. He practicado el cálculo de los valores límite de las funciones de dos variables $f(x,y)$ .
Este es un problema que implica una función de tres variables.
Calcular el límite $$\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)} \frac{2x^2+3y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}$$
Pensé que esto podría ser, por ejemplo, el potencial escalar de un campo en el espacio. Entonces, es divertido ver si la función tiene un límite a medida que nos acercamos más y más al origen. Me gustaría preguntar, si mi prueba es matemáticamente correcta.
Solución. Desde la geometría analítica sólida, una línea recta en $\mathbb{R^3}$ es:
$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}=r$
La línea recta que pasa por el origen y tiene números de dirección $l,m,n$ es:
$\frac{x}{l}=\frac{y}{m}=\frac{z}{n}=r$
Entonces, a lo largo de esta línea recta con números de dirección $l,m,n$ nuestra función toma valores
$f(x,y,z)=f(r)=\frac{2r^2l^2+3r^2m^2+r^2n^2}{r^2l^2+r^2m^2+r^2n^2}=\frac{2l^2+3m^2+n^2}{l^2+m^2+n^2}$
A lo largo de la línea $x=y,z=0$ , $f(x,y,z)=\frac{5}{2}$
A lo largo de la línea $y=z,x=0$ , $f(x,y,z)=\frac{4}{2}=2$
A lo largo de la línea $x=z,y=0$ , $f(x,y,z)=\frac{3}{2}$
A lo largo de la línea $x=y=z$ , $f(x,y,z)=\frac{6}{3}=2$
Por lo tanto, $\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)\\\text{ along }x=y,z=0}\frac{2x^2+3y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{5}{2}$
$\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)\\\text{ along }y=z,x=0}\frac{2x^2+3y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=2$
$\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)\\\text{ along }x=z,y=0}\frac{2x^2+3y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=\frac{3}{2}$
$\lim_{(x,y,z) \to (0,0,0)\\\text{ along }x=y=z}\frac{2x^2+3y^2+z^2}{x^2+y^2+z^2}=3$
Por lo tanto, el límite de esta función no existe como $(x,y,z) \to (0,0,0)$ .
