Demuestra que $\int_1^3f(x)dx+\int_{11}^{13}f(x)dx\ge\int_5^9f(x)dx$

Question

Dejemos que $f:[1,13]\to\mathbb{R}$ sea una función convexa e integrable. Demuestre que $$\int_1^3f(x)dx+\int_{11}^{13}f(x)dx\ge\int_5^9f(x)dx$$

La solución es bastante rápida si utilizamos la siguiente desigualdad y algunas sustituciones
(*) $f:I\to\mathbb{R}$ f convexo en $I$ . Para cada $a, b, c\in I$ ; $a\lt b\lt c$ tenemos:
$f(a-b+c)\le f(a)-f(b)+f(c)$

Me preguntaba si hay una manera de resolver este problema sin usar esa desigualdad

solución rápida con esa desigualdad:
Dejemos que $b=a+4; c=a+10\implies f(a+6)+f(a+4)\le f(a)+f(a+10)$ Lo integramos de 1 a 3
$\int_1^3f(a+6)+\int_1^3f(a+4)\le\int_1^3f(a)+\int_1^3f(a+10)$
Hacemos la siguiente sustitución para cada integral $x = a+6; x=a+4; x=a; x=a+10$ y eso es todo

Answer 1

Dejemos que $l$ sea la línea recta que pasa por los puntos $(5,f(5)), (9,f(9))$ .

Tenga en cuenta que $\int_1^3 l(x)dx + \int_{11}^{13} l(x)dx = \int_5^9 l(x)dx$ .

Desde $f$ es convexo, $f(x) \le l(x)$ para $x \in [5,9]$ y $f(x) \ge l(x)$ de lo contrario.