Dejemos que $G_1$ sea un espacio topológico no compacto y sea $G_2$ sea un espacio topológico genérico. ¿Cuáles son los conjuntos compactos en el producto $G_1\times G_2$ ? Seguramente podemos tomar los conjuntos de la forma $K_1\times K_2$ donde $K_1$ y $K_2$ son respectivamente conjuntos compactos de $G_1$ y $G_2$ . ¿Esto es correcto? ¿Cuáles son los otros?
Respuesta
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Supongamos que $Q$ es compacto en $G_1\times G_2$ . entonces $\pi_1(Q)$ es compacto, $\pi_2(Q)$ es compacto (el $\pi_i$ son las proyecciones canónicas), y $$Q\subseteq(\pi_1(Q)\times \pi_2(Q)).$$ También es un subconjunto cerrado de éstos siempre que los espacios de los factores sean Hausdorff.
A la inversa, un subconjunto cerrado de un producto de dos espacios compactos es compacto. Así se tiene esta caracterización. $Q$ es compacto en $G_1\times G_2$ si y sólo si existe $K_1$ comapactar en $G_1$ y $K_2$ compacto en $G_2$ así que $Q\subseteq K_1\times K_2$ y $Q$ está cerrado en él.
