Series de funciones y derivadas término a término

Question

Tengo la serie de funciones $(x \in \mathbb{R}, p \in \mathbb{R}^+)$ :

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\log(1+ n^2x^2)}{n^p}.$$

Quiero determinar los valores de $p$ tal que (1) la serie converge y (2) la serie puede ser diferenciada término a término para todo $x \in \mathbb{R}$ .

$$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2n^2x}{n^p(1 + n^2x^2)}.$$

Para (1) sé que $$\frac{\log(1 + n^2x^2)}{n^p} < \frac{n^2x^2}{n^p} = \frac{x^2}{n^{p-2}}$$

por lo que la serie converge si $p-2 > 1$ y $p > 3$ pero creo que puede converger para valores inferiores a $3$ .

Para (2) creo que la segunda serie es uniformemente convergente en cualquier intervalo cerrado para $p > 1$ así que la diferenciación término a término funciona.

¿Es esto correcto?

Answer 1

En primer lugar, la serie para $f(x)$ converge para todo $x \in \mathbb{R}$ cuando $p > 1$ .

Dejemos que $p = 1 + \epsilon$ donde $\epsilon > 0$ . Desde la serie $\sum \frac{1}{n^{1+ \epsilon/2}}$ converge y

$$\lim_{n \to \infty} n^{1 + \epsilon/2}\frac{\log(1 + n^2x^2)}{n^p} = \lim_{n \to \infty} \frac{\log(1 + n^2x^2)}{n^{\epsilon/2}} = 0$$

tenemos convergencia por la prueba de comparación de límites.

Para cualquier intervalo compacto $[a,b]$ que excluye $0$ tenemos

$$\left|\frac{2n^2x}{n^p(1 + n^2x^2)}\right| \leqslant \frac{2n^2|x|}{n^{p+2} x^2}\leqslant \frac{2}{n^p \min(|a|,|b|)},$$

y la serie de derivadas converge uniformemente si $p >1$ . Así, para todos los $p > 1$ y todos $x \neq 0$ tenemos

$$f'(x) = g(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{2n^2x}{n^p(1 + n^2x^2)} .$$

Queda por considerar cuándo $f'(0) = g(0) = 0.$ En cualquier intervalo $[a,b]$ con $0 \in [a,b]$ tenemos

$$\left| \frac{2n^2x}{n^p(1 + n^2x^2)} \right| = \frac{1}{n^{p-1}}\frac{2n|x|}{1 + n^2x^2} \leqslant \frac{1}{n^{p-1}},$$

y la serie converge uniformemente para $p > 2$ $(p-1 > 1)$ .

Por lo tanto, la serie se puede diferenciar a término para todo $x$ si $p > 2$ y $f'(0) = g(0) = 0.$ Sospecho que $f'(0) \neq g(0)$ si $1 < p \leqslant 2$ .