Periodo del péndulo lineal frente al no lineal

Question

Creo que tengo una idea de cómo hacer el problema pero no estoy 100% seguro. La pregunta es:

(a) De la ecuación: $$T(E)=2\sqrt\frac{L}{g} \int_0^1 \frac{du}{u^\frac{1}{2}(1-u)^{\frac{1}{2}}[1-\frac{E(1-u)}{2g}]^\frac{1}{2}}$$ donde $$u=1-\frac{g}{E}(1-cos \theta )$$

muestran que un péndulo no lineal tiene un período más largo que un péndulo linealizado.

(b) Demuestra que $\frac{dT}{dE} > 0 $ . Describa brevemente una interpretación física de este resultado.

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Así que estoy pensando que debería derivar la ecuación E tanto para un péndulo lineal como para un péndulo no lineal (es decir, E= $\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx_o^2$ . Entonces, conéctalos y resuelve y mira cuál da la mayor $T(E)$ para la parte (a) . No sé si es la forma correcta de hacerlo.

Entonces, para la parte (b) , simplemente tomo la derivada de $T(E)$ y demostrar que es $>0$ . Pero no conozco el interpretación física de este resultado.

Answer 1

Respecto a (a): el periodo del péndulo lineal es $$2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$ y $T(E)$ es mayor que eso porque $$ \int_0^1 \frac{du}{u^\frac{1}{2}(1-u)^{\frac{1}{2}}[1-\frac{E(1-u)}{2g}]^\frac{1}{2}} > \int_0^1 \frac{du}{u^\frac{1}{2}(1-u)^{\frac{1}{2}}} =\pi $$ Aquí la última integral se puede "evaluar" geométricamente, reconociéndola como la arclitud del semicírculo con diámetro $[0,1]$ . O simplemente hacer una sustitución de trigonometría.

Para la parte (b), diferenciar con respecto a $E$ bajo el signo integral. No es necesario evaluar el integrando resultante; el hecho de que contenga una función positiva es suficiente para la conclusión. Interpretación física: el periodo del péndulo no lineal aumenta con la amplitud. (La amplitud aumenta con la energía, por supuesto).

Answer 2

Esta es otra forma de verlo, quizás más física.

En primer lugar, con la forma habitual de ver la "fuerza" del péndulo, calculamos la fuerza restauradora en la dirección tangencial, $mg\sin\theta$ . Dejar $m=1$ obtenemos una ecuación diferencial para $\theta$ : $$\ddot{\theta} = -g\sin\theta$$ Utilizando la aproximación $\sin\theta\approx\theta$ válido para las pequeñas $\theta$ Obtenemos la ecuación del movimiento armónico simple (MSS), y un período que es independiente de la amplitud. Ahora $\sin\theta<\theta$ (excepto para $\theta=0$ ), por lo que la fuerza restauradora real es siempre un poco menor. Por lo tanto, esperamos que tome un poco más largo durante un periodo que con el SHM: cuando la varilla del péndulo pasa por el punto más bajo, la fuerza que intenta hacerla volver es un poco más débil que en el caso del péndulo lineal, por lo que tardará más en invertir su dirección.

Ahora comparemos con la derivación que describes. Yo la llamaría "basada en la energía". Observe en primer lugar que $g(1-\cos\theta)$ es la energía potencial del péndulo:

Así que $u$ es la fracción de la energía total $E$ que es cinético: $$Eu = KE$$ $$E(1-u)=PE$$ Como la energía cinética es $\frac{1}{2}(L\dot{\theta})^2$ (ajuste $m=1$ ), tenemos $dt/d\theta = L/\sqrt{2KE}$ , por lo que el periodo es $$T = \int \frac{Ld\theta}{\sqrt{2Eu}} = \int \frac{Ldu}{\sqrt{2Eu}}\frac{d\theta}{du}$$ Dejando de lado las constantes, esta es la fórmula que has dado. Para ver esto, nota que las cosas dentro de las dos últimas raíces cuadradas de tu fórmula son: $$1-u=\frac{g(1-\cos\theta)}{E}$$ y $$1-\frac{E(1-u)}{2g} = \frac{1+\cos\theta}{2}$$ y por eso su producto es $$\frac{g}{2E}(1-\cos\theta)(1+\cos\theta) = \frac{g}{2E}\sin^2\theta$$ Diferenciación de la fórmula $u=1-(g/E)(1-\cos\theta)$ da $du = -(g/E)\sin\theta\,d\theta$ por lo que las fórmulas son equivalentes.

Ahora, punto clave: ¿qué aproximación hacemos al omitir el último factor? Esencialmente, $\cos\theta\approx 1$ para los pequeños $\theta$ . Al igual que la aproximación $\sin\theta\approx\theta$ utilizado en la derivación de la "fuerza", se trata de una aproximación de primer orden. Dado que $\cos\theta<1$ el integrando del péndulo real será mayor que el del péndulo lineal, y el periodo será mayor.

Por cierto, la integral para el caso no lineal es una integral elíptica del primer tipo. Así que no se puede expresar en términos de funciones elementales (es decir, combinaciones finitas de algebraicas, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas).