¿Qué significa la doble línea vertical en álgebra lineal?

Question

Tengo una fórmula, que no tengo ni idea de cómo resolver, porque no conozco ese signo de doble línea vertical: $\|{\rm Ax} \|$ ?

$${\rm x} \ne 0 \in \Bbb R^n, \quad 0 < m \le \frac {\| {\rm Ax} \|} {\| {\rm x} \|} \le M, \quad cond(A) \le \frac M m .$$

¿Qué significa? ¿Cómo debo resolverlo?

Answer 1

Las barras dobles (o a veces incluso las barras simples) suelen denotar una norma en Matemáticas. Lo más probable es que las barras dobles indiquen la norma euclidiana. Ésta es simplemente la longitud del vector. Así, por ejemplo, el vector (lo escribiré en horizontal para compactarlo) $(1,2,3)$ tiene una longitud $$ \|(1,2,3) \|=\sqrt{1^2+2^2+3^2}=\sqrt{14} $$ y el vector $$ \|(3,-1,2) \|=\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{14} $$ Observe que $A\mathbf{x}$ es sólo un vector, por lo que $\|A\mathbf{x}\|$ es sólo la longitud del vector. $\|\mathbf{x}\|$ es sólo la longitud de $\mathbf{x}$ . Así que aquí está buscando el escalamiento de $\mathbf{x}$ bajo la transformación de $A$ para estar entre $m$ y $M$ . (Mira $\frac{\|A\mathbf{x}\|}{\|\mathbf{x}\|}$ y pensar en lo que significa "pictóricamente para ver de qué estoy hablando).