Esta es una declaración de Lam's Primer curso de anillos no conmutativos . (Parafraseado)
Dejemos que $k$ sea un campo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. $$(\forall a,b,c,d\in k)\;\;(a,b,c,d)\neq 0\implies a^2+b^2+c^2+d^2\neq 0;\tag 1$$ $$-1\text{ is not a sum of two squares.}\tag2$$
No puedo probar este hecho. Si reemplazo $(2)$ con
$$-1\text{ is not a sum of three squares,}\tag3$$
entonces la equivalencia entre $(1)$ y $(3)$ es fácil de probar. En efecto, supongamos $(1)$ es falso. Entonces podemos suponer sin pérdida de generalidad que hay $a,b,c,d\in k$ con $a\neq 0$ tal que $$a^2+b^2+c^2+d^2=0.$$ Pero entonces $$-1=\left(\frac ba\right)^2+\left(\frac ca\right)^2+\left(\frac da\right)^2,$$
y así $(3)$ es falso. Por el contrario, si $(3)$ es falso, entonces existe $x,y,z\in k$ tal que $$-1=x^2+y^2+z^2$$ y por lo tanto $$0=x^2+y^2+z^2+1^2,$$ lo que significa que $(1)$ es falso.
También puedo probar $(1)\implies (2).$ Supongamos que $(2)$ es falso. Entonces $$-1=x^2+y^2,$$ de donde $$0=x^2+y^2+1^2+0^2,$$ lo que implica que $(1)$ es falso.
Pero no puedo probar $(2)\implies (1)$ y estoy empezando a sospechar que en realidad puede ser falso. Pero tampoco encuentro un contraejemplo. Habría que encontrar un campo en el que $-1$ es una suma de tres cuadrados pero no una suma de dos cuadrados. Pero en campos finitos, todo elemento es una suma de dos cuadrados, como se ha demostrado aquí . En los subcampos de $\mathbb R$ por otro lado, $-1$ no es una suma de tres cuadrados. Y en $\mathbb C,$ es una suma de dos cuadrados: $-1=0^2+i^2.$ En general, un ejemplo no puede ser algebraicamente cerrado, lo que me deja los campos de las funciones racionales como los únicos campos que conozco. Además, el ejemplo no puede tener la característica $2$ como entonces $-1=1=1^2+0^2.$
Editar: El teorema que Gerry Myerson cita en su respuesta está demostrado aquí . Un artículo de Wikipedia sobre el Stufe es aquí . Ambos enlaces han sido dados por joriki en los comentarios.
