¿Es cierto en un campo arbitrario que $-1$ es una suma de dos cuadrados si es una suma de tres cuadrados?

Question

Esta es una declaración de Lam's Primer curso de anillos no conmutativos . (Parafraseado)

Dejemos que $k$ sea un campo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. $$(\forall a,b,c,d\in k)\;\;(a,b,c,d)\neq 0\implies a^2+b^2+c^2+d^2\neq 0;\tag 1$$ $$-1\text{ is not a sum of two squares.}\tag2$$

No puedo probar este hecho. Si reemplazo $(2)$ con

$$-1\text{ is not a sum of three squares,}\tag3$$

entonces la equivalencia entre $(1)$ y $(3)$ es fácil de probar. En efecto, supongamos $(1)$ es falso. Entonces podemos suponer sin pérdida de generalidad que hay $a,b,c,d\in k$ con $a\neq 0$ tal que $$a^2+b^2+c^2+d^2=0.$$ Pero entonces $$-1=\left(\frac ba\right)^2+\left(\frac ca\right)^2+\left(\frac da\right)^2,$$

y así $(3)$ es falso. Por el contrario, si $(3)$ es falso, entonces existe $x,y,z\in k$ tal que $$-1=x^2+y^2+z^2$$ y por lo tanto $$0=x^2+y^2+z^2+1^2,$$ lo que significa que $(1)$ es falso.

También puedo probar $(1)\implies (2).$ Supongamos que $(2)$ es falso. Entonces $$-1=x^2+y^2,$$ de donde $$0=x^2+y^2+1^2+0^2,$$ lo que implica que $(1)$ es falso.

Pero no puedo probar $(2)\implies (1)$ y estoy empezando a sospechar que en realidad puede ser falso. Pero tampoco encuentro un contraejemplo. Habría que encontrar un campo en el que $-1$ es una suma de tres cuadrados pero no una suma de dos cuadrados. Pero en campos finitos, todo elemento es una suma de dos cuadrados, como se ha demostrado aquí . En los subcampos de $\mathbb R$ por otro lado, $-1$ no es una suma de tres cuadrados. Y en $\mathbb C,$ es una suma de dos cuadrados: $-1=0^2+i^2.$ En general, un ejemplo no puede ser algebraicamente cerrado, lo que me deja los campos de las funciones racionales como los únicos campos que conozco. Además, el ejemplo no puede tener la característica $2$ como entonces $-1=1=1^2+0^2.$

Editar: El teorema que Gerry Myerson cita en su respuesta está demostrado aquí . Un artículo de Wikipedia sobre el Stufe es aquí . Ambos enlaces han sido dados por joriki en los comentarios.

Answer 1

El "stufe" de un campo es el más pequeño $m$ tal que $-1$ puede expresarse como una suma de $m$ cuadrados. Es un teorema de Pfister que el stufe (si existe) es siempre una potencia de 2.

Answer 2

Sugerencia $\ $ Si $\rm\: -1 = a^2 + b^2 + c^2\:$ entonces $\rm\:c^2 = -1\:$ ou $\rm\:(a^2+b^2)/(c^2+1) = -1,\:$ que puede reescribirse como una suma de dos cuadrados, ya que tales sumas $\ne 0$ formar un grupo , utilizando Brahmagupta para la multiplicación, y la inversión mediante $\rm\ 0\ne z = x^2\! + y^2\:$ $\Rightarrow$ $\rm\:1/z = (x/z)^2 + (y/z)^2.$

Nota: $\ $ La prueba generaliza. Sustituyendo la identidad de composición de Brahmagupta por las identidades descubiertas por Pfister para las formas cuadráticas en $\rm\:2^n\:$ variables, la prueba muestra que si $-1$ es una suma de $\rm\:m\:$ cuadrados en un campo, entonces el menor valor de $\rm\:m\:$ es necesariamente una potencia de $2$ que se llama nivel ( Stufe en alemán) del campo. Además, cada poder de $2$ es el nivel de algún campo.