Media de productos VS. producto de medias

Question

Tengo un problema en el trabajo en el que los precios de las cosas se determinan multiplicando una serie de factores. Por ejemplo, supongamos que cada precio se compone de tres factores, $A, B, C$ para que $\text{Price} = A \cdot B \cdot C$ .

Por ejemplo:

Producto 1, $\text{price} = 200 \cdot 0.5 \cdot 1.50 = 150$ .

Producto 2, $\text{price} = 100 \cdot 0.25 \cdot 1.20 = 30$ .

Producto 3, $\text{price} = 50 \cdot 0.75 \cdot 1.8 = 67.5$ .

Mi jefe quiere que cree un informe que muestre la media A, la media B y la media C, y luego como comprobación le gustaría ver que

$$\text{avg}(A) \cdot \text{avg}(B) \cdot \text{avg}(C) = \text{avg}(\text{price}).$$

Así, en el ejemplo anterior, el precio medio es

$$\frac{150+30 + 67.5}{3} = 82.5,$$

pero

$$ \begin{align} \text{avg}(A) & = \frac{200+100+50}{3} = 116.67, \\ \text{avg}(B) & = \frac{.5+.25+.75}{3} = 0.50, \\ \text{avg}(C) & = \frac{1.5+1.2+1.8}{3} = 1.5, \end{align} $$

y luego $\text{avg}(A) \cdot \text{avg}(B) \cdot \text{avg}(C) = 116.67 \cdot 0.50 \cdot 1.5 = 87.50$ que está fuera de $82.50$ .

Pensando en esto, estoy bastante seguro de que, en general, no será cierto que el producto de las medias sea igual a la media de los productos. ¿Hay alguna prueba fácil de entender de que esto es cierto? Digamos que para $N$ productos y $M$ factores en cada producto?

¿Hay alguna otra forma creativa de tomar los promedios que haga que esta idea funcione? Por ejemplo, ¿promedios geométricos o algo así?

Answer 1

Supongo que lo que quieres es una visión de este desajuste y comprender de qué depende, etc. Por lo demás, un contraejemplo es una prueba suficiente.

Para comprender el problema, y para entender los detalles de la relación entre avg(A*B) frente a avg(A)*avg(B), consulte "covarianza" en estadística (por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Covariance ).

Digamos que $x_1, x_2, ..., x_n$ y $y_1, y_2, ..., y_n$ son dos listas de números (hablo de 2 listas, pero la idea se generaliza a 3 o más, como en tu caso). Entonces la covarianza de x e y se define como $Cov(x_i,y_i)=avg(x_i\cdot y_i)-avg(x_i)\cdot avg(y_i)$ (Verá $E(x)$ en lugar de $avg(x)$ en recursos matemáticos, y $x$ se llamará variable aleatoria, y $x_i$ son muestras). Por tanto, la discrepancia de la que hablas tiene un nombre en estadística. Básicamente muestra cuánto están relacionados los dos conjuntos de números, varían juntos (de forma lineal). Si son independientes o no están correlacionados, entonces la diferencia es cero y tus dos cálculos dan el mismo resultado.

Otra expresión útil relacionada con la covarianza es, $$Cov(x_i,y_i)=avg[ (x_i-avg(x_i))\cdot(y_i-avg(y_i) ] = avg(x_i\cdot y_i)-avg(x_i)\cdot avg(y_i)$$ Usted ve que, obviamente, si el $x_i$ aor $y_i$ son constantes y $x_i=avg(x_i)$ No habría ninguna diferencia en tomar la media antes del producto o después.

Answer 2

Para demostrar que la idea de tu jefe no va a funcionar, sólo necesitas un ejemplo. Yo utilizaría $A=1,5,1000, B=1000,1,5, C=5,1000,1$ . Entonces todos los precios son $5000$ y todos los promedios son $335\frac 13$ por lo que el producto de las medias es $335\frac13^3\approx 37,707,712$ . Cómo presentar esto sin ser despedido no es un problema matemático.

Lo que funcionaría es (producto de las A's)*(producto de las B's)*(producto de las C's)=(producto de los precios) Dependiendo de cómo implementes esto en el software, puede que no sea una gran comprobación, pero debería satisfacer a tu jefe. Si quieres tomar la media geométrica, eso sólo elevará esta relación a la $\frac 1n$ potencia, donde $n$ es el número de productos. Funciona igual.