Sé (al menos creo saberlo) que algunos de los principales problemas que motivaron el desarrollo de la cohomología etale fueron las conjeturas de Weil. Me gustaría saber qué otros problemas se pueden resolver utilizando la maquinaria de la cohomología etale. Sé un poco cómo aparecen los grupos de cohomología etale en la teoría algebraica de los números, pero me gustaría saber cómo aparecen estas cosas también en otros temas matemáticos. ¿Hay algo que un topólogo algebraico deba saber realmente sobre la cohomología etale? ¿Y un geómetra diferencial?
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$\DeclareMathOperator{\gal}{Gal}$ He aquí un comentario que se puede hacer a los geómetras diferenciales que al menos explica lo que "hace" la cohomología etale. Dada una variedad algebraica sobre los reales, digamos una suave, sus puntos complejos son una variedad compleja pero con una pequeña estructura extra: los puntos complejos admiten un automorfismo procedente de la conjugación compleja. De ahí que los grupos de cohomología singulares hereden un automorfismo inducido, que es una información extra que a veces merece la pena llevar. En resumen: la cohomología de una variedad algebraica definida sobre los reales hereda una acción de $\gal(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ .
Lo bueno de la cohomología etale es que un teórico de los números puede ahora hacer el mismo truco con variedades algebraicas definidas sobre $\mathbb{Q}$ . Los grupos de cohomología etale de esta variedad tendrán la misma dimensión que los grupos de cohomología singulares (y de hecho son isomorfos a ellos a través de un teorema de comparación, una vez que el anillo de coeficientes es lo suficientemente grande), pero la ventaja es que heredan una estructura del grupo asombrosamente rica y complicada $\gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ . A menudo me he encontrado con que este comentario despierta a los geómetras diferenciales, con el pensamiento "bueno, al menos ahora sé más o menos el sentido de esto". Un geómetra diferencial probablemente no quiere estudiar $\gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ sin embargo.
Sin embargo, si me pongo mi sombrero de filosofía de Langlands, puedo ver una gran motivación para la cohomología etale: Langlands dice que las formas automórficas deberían dar lugar a representaciones de grupos de Galois, y la cohomología etale es una máquina muy potente para construir representaciones de grupos de Galois, así que por eso podría interesarme aunque no sea un geómetra algebraico.
Por último, supongo que una buena razón motivadora mucho más simple para la cohomología etale es que la geometría se facilita definitivamente cuando se tienen teorías de cohomología alrededor. Eso está claro. Pero si estás haciendo geometría algebraica sobre un campo que no es $\mathbb C$ o $\mathbb R$ entonces las teorías clásicas de cohomología no van a servir, y la topología de Zariski es tan horrible que no puedes usarla sola para hacer geometría vas a necesitar algo de ayuda. De ahí la cohomología etale, que da las respuestas correctas: por ejemplo, una curva proyectiva suave sobre cualquier campo tiene un género, y la cohomología etale es una teoría que le asigna un $H^1$ de dimensión $2g$ (<pedante> al menos si utiliza $\ell$ -de la cohomología de $\ell$ no cero en el campo <\pedant>).
Nick Cox
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16
A) Conceptualmente un topólogo algebraico debería estar interesado en la cohomología étale, porque responde a una pregunta muy ingenua: dada una variedad algebraica sobre $\mathbb C$ ¿Cómo puedo calcular algebraicamente su cohomología singular? La respuesta obvia "por qué, simplemente tomaré la cohomología de la gavilla constante $\mathbb Z$ " falla de forma espectacular: si la variedad es irreducible ( una suposición razonable) la cohomología será cero en grado positivo porque las gavillas constantes son flácidas, por tanto acíclicas. Esto se debe a que la topología de Zariski de una variedad algebraica es demasiado gruesa y no permite las innumerables simplices singulares de las que dispone el topólogo algebraico. Lo haré a mi manera singular", pero entonces, ¿qué hay que hacer en característica no nula? Aquí es donde entra en juego la cohomología estal de Grothendieck: permite calcular una cohomología muy razonable para gavillas constantes. Y para gavillas de grupos abelianos finitos sobre variedades complejas, un teorema difícil (acertadamente llamado teorema de comparación) demostrado por Mike Artin dice que la cohomología estal es coincidente con la cohomología singular.
b)Preguntas : "...¿qué otros problemas se pueden resolver utilizando la maquinaria de la cohomología etale?" Bueno, está la prueba (que le valió una medalla Fields) de Voevodski de la conjetura de Milnor sobre las formas cuadráticas, que había sido el principal problema abierto en la teoría de las formas cuadráticas durante 30 años. Introdujo $\mathbb A^1$ -homotopía que abrió un campo de investigación bastante activo por parte de sus colegas de topología algebraica. Aquí hay un artículo de estudio de Fabien Morel sobre $\mathbb A^1$ - topología algebraica:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~morel/ICMfinal1.pdf
Por último, hablando de referencias, un excelente y muy fácil de usar conjunto de notas de Milne sobre cohomología étale puede descargarse gratuitamente de
Rog
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Este revisión de Bloch responde a la primera parte de su pregunta. La topología algebraica, como la "Topología Geométrica" de Sullivan, utiliza la cohomología y la homotopía elementales.
Chris Farmer
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Uno de los aspectos molestos de la cohomología de gavillas en la geometría algebraica es que -incluso para las curvas sobre los números complejos- las dimensiones cohomológicas no son las que uno quiere, si está acostumbrado a la cohomología de Betti.
La cohomología de Etale soluciona este problema definiendo una cohomología a partir de las cubiertas de un espacio. Se trata de un fenómeno algebro-topológico estándar: por ejemplo, el grupo fundamental de un espacio es, en efecto, el límite directo sobre los grupos de cubiertas del espacio.
Sin embargo, no sé si esto ayuda a realizar cálculos en topología algebraica.
