Variación de la función de Thomae

Question

Así que tengo una pregunta difícil y no tengo ni idea de cómo empezar. Sé que podría utilizar el Principio del Encasillamiento, pero de todos modos, va como sigue:

En primer lugar tenemos que definir:

1. $$\{\frac{p_n}{q_n} \}_{n\in\mathbb{N}}=\mathbb{Q} \cap (0,1),\qquad {p_n} , {q_n}\quad \text{coprimes} $$

$$\quad\{y_n\}_n \subset\mathbb{Q} \cap (0,1)\quad \text{where we only know}\quad y_n \to 0 \quad \text{with large n}$$

$$\quad r´: [0,1] \to [0,1], \quad r´(x)= \begin{cases} 1, & \text{if $x=0$} \\ 0, & \text{if $x \in \mathbb{R- Q}$} \\y_n,& \text{if $x=\frac{p_n}{q_n}$} \end{cases} $$

así que, finalmente, encontrar $y_n$ para el que r' es diferenciable en infinitos irracionales .

Answer 1

Así que, creo que si definimos $y_n=\min\{1/n,1/q_n^3\}$ sería diferenciable en cada número algebraico cuadrático. Sea $x$ sea un número así. Por el teorema de Liouville tendríamos para alguna constante $C$ eso: $$|x-\frac{p}{q}|>\frac{C}{q^2}$$ por cada $p,q\in\mathbb{Z}$ . Así: $$|\frac{r(x)-r(p/q)}{x-p/q}|<\frac{q^2r(p/q)}{C}\leq\frac{1}{Cq} $$ Cuando tomamos el límite $p/q\rightarrow x$ tendremos que $q\rightarrow \infty$ , por lo que el coeficiente de Newton llegará a cero. Evidentemente, cuando nos acercamos por números no racionales el coeficiente seguirá siendo 0, por lo que el límite existe.