¿Qué es un buen argumento que muestra el volumen de la bola unitaria en $\mathbb R^n$ ¿se acerca a 0?

Question

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La semana pasada, di a mi clase de cálculo 1 la tarea de calcular el $n$ -volumen de la $n$ -Bola. Habían terminado de hablar sobre cómo encontrar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Les pedí que calcularan una fórmula para $4$ y $5$ y tomar el límite de la fórmula general para obtener 0.

Mañana me gustaría darles una idea más geométrica de por qué el volumen llega a cero. ¿Alguien tiene alguna idea? :)

Comm wiki en caso de que la gente quiera añadir/modificar esto un poco.

Answer 1

Para $r=\frac{1}{2}$ Tengo un argumento geométrico.

Dejemos que $I=[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$ .

Ahora $Vol(D^{n-1} \times I) = Vol(D^{n-1})$ . Tomemos un anillo $A$ , digamos que con radio exterior $\frac{1}{2}$ y el radio interior $0.9\frac{1}{2}$ . Eliminar $A \times [0.9\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ desde la parte superior de $D^{n-1} \times I$ . Esto todavía contiene $D^n$ y tiene un volumen al menos un 0,1% menor que $Vol(D^{n-1} \times I) = Vol(D^{n-1})$ . Así que $Vol(D^n) < 0.999 Vol(D^{n-1})$ . Hecho.

Answer 2

Editar: Como ha señalado Matthias, el siguiente argumento sólo funciona para la bola de radio 1/2.

Para medir el volumen, tenemos que ponernos de acuerdo en una unidad de volumen [1]. La forma tradicional de hacerlo es fijar el volumen del cubo unitario en uno.

Ahora, piensa en el $n$ -bola inscrita en la unidad $n$ -cubo. A medida que aumentamos $n$ El diámetro de la bola se mantiene constante, pero ¿qué ocurre con su volumen? Cuando $n = 1$ La bola ocupa todo el cubo unitario, por lo que su volumen es uno. Cuando $n = 2$ La bola ya no ocupa todo el cubo unitario, por lo que su volumen es menor que uno. Cuando $n = 3$ La bola ocupa aún menos del cubo unitario, por lo que su volumen es aún menor.

Hay una manera fácil de ver que cuando se va de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^{n + 1}$ la fracción del cubo unitario ocupada por la bola inscrita disminuye. Comenzar con un $n$ -bola inscrita en la unidad $n$ -y extruye ambos objetos en el $(n + 1)$ de la primera dimensión. Ahora tiene una $(n + 1)$ -civil inscrito en un $(n + 1)$ -cubo. La fracción del $(n + 1)$ -cubo ocupado por el $(n + 1)$ -es claramente la misma que la fracción del $n$ -cubo ocupado por el $n$ - bola. Sin embargo, es fácil ver que la $(n + 1)$ -bola inscrita en el $(n + 1)$ -cubo encaja dentro del inscrito $(n + 1)$ -Cilindro con espacio de sobra.

Este argumento sólo demuestra que el volumen del diámetro unitario $n$ -bola disminuye a medida que $n$ crece; no muestra que el volumen llegue a cero. Sin embargo, tengo la esperanza de que una versión más sofisticada del mismo argumento pueda servir.

Editar: Una versión más sofisticada del mismo argumento hace y Matthias lo publicó mientras yo escribía mi post. ¡Hurra!

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[1] Para ser más sofisticados: la forma n diferencial en $\mathbb{R}^n$ sólo es única hasta la multiplicación por una constante, así que tenemos que elegir una constante.

Answer 3

La sustitución de la función característica de la bola unitaria por una distribución normal adecuada con simetría esférica al calcular el volumen debería dar aproximadamente la respuesta correcta. Dado que $$\frac{1}{(2\pi)^{n/2}}\int_{\mathbb R^n}(x_1^2+\dots+x_n^2)e^{-(x_1^2+\dots+x_n^2)/2}dx_1\cdots dx_n$$ es lineal en $n$ hay que reescalar por un factor de orden $\frac{1}{\sqrt{n}}$ lo que lleva a una decadencia del orden $(\lambda n)^{-n/2}$ para el volumen de la esfera unitaria.

Answer 4

Un argumento de empaquetamiento de esferas (y alguna construcción de números de besos), porque tener n bolas más pequeñas equivale a poder empaquetar más de ellas en el n-cubo de la unidad.

edit: Esto necesitaba usar r=1/2, no la unidad n-balls. Fijación de los valores asociados. Esto perjudica la utilidad del argumento, pero sigue dando una idea geométrica de cómo la n-bola llena el n-cubo y la forma del espacio entre ellos.

Primero, tomamos n=4 y mostramos cómo poner dos bolas n $B_n$ que tiene un radio de 1/2 en la unidad n-cubo $C_n$ El primer cubo se sitúa en el centro del n-cubo y se utiliza como origen. Luego colocamos el segundo en (1/2,1/2,1/2,1/2) y lo envolvemos en el n-cubo. Estos dos $B_n$ están ahora en $C_n$ (incluso si uno puede considerarse dividido en partes) y son disjuntos porque la distancia entre ellos es $\sqrt{4(1/2)^2} = 1$ .

Esto demuestra que el volumen $V(B_4) < 1/2$ .

Ahora, cuando n=4k, observe que podemos colocar otros k $B_n$ más la del centro utilizando el mismo tipo de traslación que antes. Para la primera, sólo ponemos las 4 primeras coordenadas como 1/2 y el resto como 0. Para la segunda, sólo las 4 siguientes, etc. Todas estas coordenadas adicionales $B_n$ están a la distancia 1 del centrado, y a la distancia $\sqrt{2}>1$ entre sí, haciendo que todos sean disjuntos. Así, tenemos

$V(B_{4k}) < 1/(k+1)$ ,

que va a 0 cuando n=4k aumenta. Por supuesto, cuando n=4k+p, el mismo truco sigue funcionando, pero sólo con k+1 bolas n, lo que no es un problema.

Answer 5

Permítame sugerir otro enfoque "intuitivo", que apenas utiliza cálculos, sólo algo de Aritmética básica (es decir: Combinatoria)

Pues bien, es un hecho que incluso para números grandes de n (dimensión) la n-esfera unitaria inscrita en el n-cubo unitario sigue siendo la MÁS GRANDE posible. Su diámetro es siempre igual a la "longitud del lado" del cubo, y la superficie de la esfera toca todas las "caras" del cubo (ya que la "cara" de un n-cubo, debe ser considerada por supuesto como un (n-1)-cubo).

Entonces, ¿por qué el "encogimiento" de la esfera para dimensiones cada vez más altas? Es una simple cuestión de aritmética. La esfera siempre ocupa el "área central"/centro del n-cubo, pero no queda mucho "centro", a medida que n va al infinito. La mayor parte del volumen del cubo se "escapa" (centrífugamente, más o menos) hacia las esquinas/"vértices". Por ejemplo, un cubo de 100 tiene 200 "caras", pero $2^{100}$ vértices. Consideremos que producimos los "diámetros" del cubo, es decir, todas las rectas que pasan por el Centro del cubo.

Hay dos tipos principales, en lo que respecta a la "longitud". Las más pequeñas, llamémoslas "buenas" o "cortas", que parten del centro de una cara, pasan por el centro C del cubo y terminan en el centro de la cara opuesta. Para el cubo tridimensional habitual que prescribe una esfera unitaria (r=1), esta longitud del diámetro corto es 2 (ya que 2 es tanto el diámetro de la esfera como la longitud de la arista del cubo). Eso demuestra que un diámetro "bueno/corto" se extiende por completo (toda su longitud) DENTRO de la esfera. Uno "malo/largo" desde el otro lado, son estos diámetros por supuesto que parten de un vértice--centro de la esfera C--hacia el vértice opuesto. Para un n-cubo con longitud de lado=2 , el diámetro largo "malo" tiene longitud = $2\sqrt n$ . Así, por ejemplo, para un cubo de 100 el diámetro largo/mal tiene una longitud igual a 2*10=20. Observamos que, en este caso, ¡sólo 1/10 de esta longitud se encuentra dentro de la esfera!

Además, hay 100 diámetros "buenos/cortos"/llenos, pero $2^{99}$ ¡largos! ("vacío/malo"). El argumento anterior "por inducción", quizás no sea tan estricto matemáticamente, pero es lógicamente muy poderoso, creo.