¿Qué es un buen argumento que muestra el volumen de la bola unitaria en $\mathbb R^n$ ¿se acerca a 0?

Question

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La semana pasada, di a mi clase de cálculo 1 la tarea de calcular el $n$ -volumen de la $n$ -Bola. Habían terminado de hablar sobre cómo encontrar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Les pedí que calcularan una fórmula para $4$ y $5$ y tomar el límite de la fórmula general para obtener 0.

Mañana me gustaría darles una idea más geométrica de por qué el volumen llega a cero. ¿Alguien tiene alguna idea? :)

Comm wiki en caso de que la gente quiera añadir/modificar esto un poco.

Answer 1

He llegado un poco tarde a esta fiesta en particular, pero aquí hay otro argumento. Este incluye la mayor parte de la esfera en un cono adecuado.

Elija un pequeño número positivo x, que se optimizará más tarde. Entonces el volumen de la parte de la esfera con $0\leq x_n\leq x$ es como máximo $2^n x$ (siendo el volumen del cubo $2^n$ ).

Consideremos ahora el plano $x_n=x$ . Esto interseca la esfera en una subesfera de (n-1) dimensiones. Sea C el cono más pequeño que contiene todo lo que hay en la esfera por encima de este plano. Un simple argumento usando triángulos similares muestra que la altura de este cono es como máximo 1/x. Por tanto, su volumen es como máximo $2^{n-1}/nx$ .

Duplicando todo esto para obtener las dos mitades de la esfera, obtenemos un vínculo superior de $2^n(2x+1/nx)$ y tomando $x=n^{-1/2}$ obtenemos un límite superior para la relación de $3n^{-1/2}$ .

Por supuesto, este es un límite débil, pero estaba tratando de hacer el argumento lo más simple posible. (Es más sencillo en mi cabeza de lo que he conseguido hacer por escrito).

Pido disculpas si esto duplica el argumento de alguien más - lo he comprobado, pero podría haber pasado algo por alto.

Answer 2

He aquí un argumento geométrico (todavía con un poco de cálculo). El volumen de la unidad $n+1$ -puede obtenerse de la integración de los volúmenes de $n$ -secciones transversales de bolas desde, por ejemplo, el polo sur hasta el polo norte. Tenemos $Vol(D^{n+1}) = Vol(D^{n}) \int_{-1}^1 \sqrt{1-z^2}^{n} dz$ ya que el volumen del $n$ -bola de radio $r$ es el volumen de la unidad $n$ -tiempos de pelota $r^n$ y el radio del $z$ -La sección transversal es $\sqrt{1-z^2}$ . Ya que para cualquier $1 >\delta >0$ , $(1-z^2)^{n/2}$ converge a $0$ uniformemente en $[-1,-\delta] \cup [\delta, 1]$ no es difícil ver que estas integrales convergen a cero.

Así que la proporción $Vol(D^{n+1})/Vol(D^n)$ converge a cero, y por lo tanto $Vol(D^n)\to 0$ como $n\to \infty$ . Como dice Gil Kalai, este argumento demuestra que el volumen se concentra cerca del ecuador.

Answer 3

Tal vez el hecho de que la mayoría de los puntos de la esfera estén muy cerca del ecuador (concentración de la medida) dé alguna explicación conceptual.

Answer 4

Dejemos que $f(n)$ sea el n-volumen de la n-esfera. Entonces lo natural es preguntarse no $f(n)$ pero $f(n)/2^n$ ; es la relación entre el volumen de la n-esfera y el volumen del n-cubo en el que está inscrita. Es natural que sea muy pequeño por un argumento de concentración de la medida. La distancia "típica" de un punto en el n-cubo $[-1,1]^n$ desde el origen es una constante veces $n$ . De manera más rigurosa, elija un punto uniformemente al azar de la $n$ -cubo; el cuadrado de su distancia al origen es $X_1^2 + X_2^2 + \ldots + X_n^2$ , donde $X_i$ es el $i$ coordenada, una variable aleatoria uniforme [-1,1]. Así, $X_i^2$ tiene una media de 1/3 y una varianza de 4/45 (*), por lo que la distancia al cuadrado de un punto aleatorio desde el origen tiene una distribución aproximadamente normal con una media $n/3$ y la varianza $4n/45$ . Pero los puntos de la esfera son sólo aquellos que tienen una distancia máxima de 1 al origen, y éstos son bastante raros.

(*) En realidad no estoy seguro de este "4/45". En cualquier caso, es una constante positiva.

Answer 5

Dado un $n$ cuerpo simétrico convexo cerrado y dimensional $E$ situarlo en $R^n$ para que la bola euclidiana $B$ es el elipsoide de máximo volumen contenido en $E$ . En 1978 Szarek, basándose en los trabajos de Kashin, demostró (con creces) que si $({{vol(E)}\over{vol(B)}})^{1/n}\le C$ entonces el espacio de Banach que tiene $E$ para su bola unitaria contiene un subespacio de dimensión $n/2$ que es $C^2$ isomorfo a un espacio de Hilbert. Sin embargo, es fácil ver que $\ell_\infty^n$ contiene un subespacio bien isomorfo a los espacios de Hilbert sólo de dimensión de orden $\log n$ .

Esta es la respuesta más complicada que se me ocurre a la pregunta original, pero muestra por qué alguien podría preocuparse por calcular las relaciones de volumen.