¿Qué es un buen argumento que muestra el volumen de la bola unitaria en $\mathbb R^n$ ¿se acerca a 0?

Question

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La semana pasada, di a mi clase de cálculo 1 la tarea de calcular el $n$ -volumen de la $n$ -Bola. Habían terminado de hablar sobre cómo encontrar el volumen integrando el área de las secciones transversales. Les pedí que calcularan una fórmula para $4$ y $5$ y tomar el límite de la fórmula general para obtener 0.

Mañana me gustaría darles una idea más geométrica de por qué el volumen llega a cero. ¿Alguien tiene alguna idea? :)

Comm wiki en caso de que la gente quiera añadir/modificar esto un poco.

Answer 1

La razón última es, por supuesto, que la coordenada típica de un punto en la bola unitaria es de tamaño $\frac{1}{\sqrt{n}}\ll 1$ . Esto se puede convertir en un simple argumento geométrico (como sugiere fedja) utilizando el hecho de que un $n$ -El conjunto de elementos tiene $2^n$ subconjuntos:

Al menos $n/2$ de las coordenadas de un punto en la bola unitaria son como máximo $\sqrt{\frac{2}{n}}$ en valor absoluto, y el resto son como máximo $1$ en valor absoluto. Por lo tanto, la bola unitaria puede ser cubierta por a lo sumo $2^n$ ladrillos (paralelepípedos en ángulo recto) de volumen $$\left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2},$$ cada uno de ellos correspondiente a un subconjunto para las coordenadas pequeñas. Por lo tanto, el volumen de la bola unitaria es como máximo $$2^n \cdot \left(2\sqrt{\frac{2}{n}}\right)^{n/2} = \left(\frac{128}{n}\right)^{n/4}\rightarrow0.$$ De hecho, el argumento muestra que el volumen de la bola unitaria disminuye más rápido que cualquier exponencial, por lo que el volumen de la bola de cualquier radio fijo también va a $0$ .

Answer 2

Una variación de algunos de los argumentos anteriores que permite intuir algo sin hacer ningún cálculo.

Considere $B_n$ la pelota en $R^n$ y $C_n$ el cubo $[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]^n$ . Hacemos las siguientes observaciones.

1. $C_n$ tiene volumen $1$ .

2. Un punto típico en $C_n$ tendrá aproximadamente la mitad de sus coordenadas más grandes que $\frac{1}{4}$ en valor absoluto, por lo que estará fuera de $B_n$ . En otras palabras, casi nada del volumen de $C_n$ está contenida en $B_n$ .

3. Un punto típico en $B_n$ no tendrá coordenadas mayores que $\frac{1}{2}$ ya que la suma de los cuadrados de las coordenadas es $1$ y esta suma tiene que ser dividida entre $n$ coordenadas. (Esta es una versión débil de la concentración de la medida mencionada por Gil Kalai, y puede ser intuitivamente aceptable).

Observando esto, vemos que al pasar de $C_n$ a $B_n$ comenzamos con un volumen de $1$ , tirar casi todo, y no añadir casi nada de nuevo.

Answer 3

Una prueba sin cálculos de que el volumen $V_n$ de la unidad $n$ -esfera va a 0 más rápido que cualquier exponencial. Equivalentemente, el volumen $r^nV_n$ de la esfera de radio $r$ va a 0 para cada $r$ . Se inspira en las respuestas intuitivas sobre la concentración de la medida.

Reclamación. Para cualquier $0 < h < 1$ , $$V_n \le 2h V_{n-1} + (1-h^2)^{n/2} V_n.$$

Prueba. Retire una losa del centro de la $n$ -bola con espesor $2h$ y juntar las rodajas restantes para dar forma de lente. El radio del ecuador de esta lente es $\sqrt{1-h^2}$ y claramente encaja dentro de un $n$ -bola de ese radio.

Prueba del resultado principal. Reordenar la demanda como una relación de volumen entre dimensiones adyacentes: $$V_n \le \frac{2h}{1-(1-h^2)^{n/2}} V_{n-1}.$$ Por cada $h$ el factor de la derecha se acerca finalmente a $2h$ , qed. En particular, si tomamos $h = 1/3$ entonces para el momento en que $n \ge 19$ El volumen se ha invertido y está disminuyendo.

Answer 4

Hay un argumento sencillo comparando con la bola unitaria de $\ell_1^n$ .

Dejemos que $K$ sea la bola unitaria de $\ell_1^n$ es decir, el conjunto de puntos cuya suma de coordenadas (en valor absoluto) está limitada por $1$ . Entonces $K$ es la unión disjunta de $2^n$ símiles (uno por octante), y cada símil tiene un volumen $1/n!$ .

Ahora la bola unitaria euclidiana está contenida en $\sqrt{n}K$ por lo que su volumen es como máximo $n^{n/2}2^n/n!$ . Este tiende a $0$ y se comporta como $(c/\sqrt{n})^n$ para alguna constante $c$ .

El valor es nítido hasta el valor de $c$ como muestra el argumento dual: la bola unitaria contiene el cubo $[-1/\sqrt{n},1/\sqrt{n}]^n$ .

Answer 5

Por una extraña coincidencia, la semana pasada me encontré pensando casi en esta misma pregunta mientras caminaba hacia mi casa una mañana temprano (sí, es correcto). Sin embargo, sólo quería el resultado más débil de que la relación del volumen de la bola unitaria en el $l^2$ norma de $\mathbb{R}^n$ a la de la bola unitaria en el $l^{\infty}$ norma de $\mathbb{R}^n$ (es decir, $2^n$ ), va a cero como $n \to \infty$ . Esto es lo que se me ocurrió:

Comience con el volumen de la bola 4 en $\mathbb{R}^4$ . Obsérvese que la región está totalmente contenida en la del polidisco = $\{(x_1,x_2,x_3,x_4) | x_1^2 + x_2^2 \le 1, x_3^2 + x_4^2 \le 1\}$ y, por tanto, la proporción del volumen de la 4 esfera con respecto al de la bola unitaria en el $l^{\infty}$ es como máximo $(\pi/4)^2$ . La repetición de este argumento muestra que la proporción correspondiente en $2n$ o $2n+1$ variables es como máximo $(\pi/4)^n$ . Esto va a 0 como $n \to \infty$ .

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ADDENDUM: Después de pensarlo un poco más, el argumento del "polidisco" anterior puede modificarse fácilmente para responder a la pregunta original siempre que se muestre un valor de n para el que el volumen de la bola n sea menor que uno. La buena noticia es que encontrar ese n es un ejercicio de cálculo sencillo que implica la integración por partes repetida. La mala noticia es que, si he hecho bien el ejercicio, el n más pequeño es n = 13.