Por ejemplo, me gustaría describir dos conjuntos de la siguiente manera
$S_1 = \{x \in N | x = 100 \lor x + 5 \in S_2\}$
$S_2 = \{x \in N | x + 5\in S_1\}$
¿es legal?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo que escribes te dice algo sobre $S_1$ y $S_2$ pero no los define como subconjuntos de $\mathbf N$ .
Por ejemplo, $S_1$ podría ser un conjunto de todos los números naturales divisibles por 10 que sean como máximo 100, y $S_2$ podría ser el mismo conjunto, sólo que desplazado por cinco. Pero también podría ser que $S_1=S_2=\mathbf N$ .
Si lo que se pregunta es si la descripción se ajusta a la norma habitual de construcción de conjuntos, entonces la respuesta también es no: formalmente, en ZFC, esto depende del axioma (esquema) de comprensión: dado un conjunto $X$ y una fórmula $\varphi$ (con parámetros), tenemos un conjunto $\{x\in X\mid \varphi(x)\}$ . Para cualquier conjunto $Y\subseteq \mathbf N$ la fórmula $\varphi(x)=``x+5\in Y''$ es válido, pero en su caso, $Y=S_2$ no es un subconjunto de $\mathbf N$ (aún no está definido), por lo que no puede utilizarse como parámetro.
Por otro lado, usted puede definir recursivamente dos conjuntos, pero hay que tener más cuidado y hacer la recursión más explícita.
Supongo que lo que quiere decir es que $S_1^0=\{100\}$ y para cada $n$ , $S_2^n=\{x\in \mathbf N\mid x+5\in S_1^n\}$ , $S_1^{n+1}= \{x\in \mathbf N \mid x+5\in S_2^n\}$ . Entonces $S_1=\bigcup_n S_1^n$ y $S_2=\bigcup_n S_2^n$ hacer lo que probablemente pretendía hacer.
También se puede definir $S_1, S_2$ como el El más pequeño subconjuntos de $\mathbf N$ satisfaciendo $x\in S_1\iff x=100\lor x+5\in S_2$ y $x\in S_2\iff x+5\in S_1$ . Esta es también una definición correcta, en cuanto se demuestra que tales conjuntos más pequeños existen, pero en cualquier caso, esta definición no es del tipo estándar de construcción de conjuntos.
