Esta es una vuelta de tuerca a la norma de reducción de Gauss que produce
una triangular inferior y una superior triangular factor.
Denotar por $E_{ij}$ de la matriz en la que todos los coeficientes son cero
excepto el que está en la intersección de las $i$-ésimo de la línea y el $j$-th
columna, igual a $1$. Denotar por $T_{ij}(\lambda)$ el transvection
matriz $I_n+\lambda E_{ij}$, y por $R_i(\lambda)$ el reescalado de la matriz
$I_n+(\lambda-1)E_{ii}$. Denotar por $\cal T$ el grupo de triangular superior
invertible, matrices, y por $\cal U$ el subgrupo de $\cal T$ que consta de
el unipotentes.
Para cualquier invertible $A$, ${\cal C}={\cal U}A{\cal T}$ es un dos caras coset en el que
$\cal U$ actúa sobre la izquierda y $\cal T$ hechos en el derecho. Estamos buscando
una permutación de la matriz dentro de $\cal C$.
Dado $0\leq r\leq n$, decir que una matriz $A=(a_{ij})$ $r$normalizado iff
los hay de distintos índices de $i_1<i_2<\ldots<i_r$ tal que para cualquier
$k\in\lbrace 1,2,\ldots,r \rbrace$ , $i_k$- th línea tiene todas sus entradas
igual a cero, excepto para el $k$-th uno, igual a $1$, y el $k$-ésima columna
tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto para el $i_k$-th uno, igual a $1$
(puede interpretar esto como decir que un determinado menor de $A$ es la identidad).
Por lo tanto, cualquier matriz es $0$-normalizado, y un $n$normalizados de la matriz es la misma cosa
como una matriz de permutación. El uso de la inducción, por lo tanto, suficiente para mostrar
el siguiente lema :
Lema Si $A$ $r$normalizados de la matriz con $r<n$, entonces su coset
${\cal C}={\cal U}A{\cal T}$ contiene un $(r+1)$normalizados de la matriz.
La prueba del lema Considerar el $(r+1)$-ésima columna de a $A$. Sabemos que
todas las entradas en los índices de $i_1,\ldots,i_{r}$ son cero. Por otro lado,
las entradas no son todos cero desde $A$ es invertible. Vamos, a continuación, $i_{r+1}$ ser el
mayor índice de satisfacción de $a_{i_{r+1},(r+1)} \neq 0$. Multiplicar por un adecuado
reescalado de la matriz $R_{r+1}(\lambda)$ a la derecha, podemos suponer que $a_{i_{r+1},(r+1)}=1$. Para cualquier $i<i_{r+1}$, $i\not\in \lbrace i_1,\ldots,i_{r}\rbrace$, multiplicando por la izquierda por
el transvection $T_{i,i_{r+1}}(\lambda)$ adecuado $\lambda$, podemos suponer que
$a_{i,r+1}=0$. Esto asegura que el $(r+1)$-ésima columna de a $A$ es como deseamos que sea.
Del mismo modo, para cualquier $j>r+1$, multiplicando a la derecha por
el transvection $T_{r+1,j}(\lambda)$ adecuado $\lambda$, podemos suponer que
$a_{i_{r+1},j}=0$. Esto asegura que el $i_{r+1}$-ésimo de la línea de $A$ es como deseamos que sea.
Ahora $A$ es totalmente $(r+1)$normalizada, la cual termina la prueba.