10 votos

Si $A \in M_{n,n}(\mathbb F)$ es invertible, entonces $A = UPB$, $U$ es unipotentes triangular superior, $B$ es triangular superior y $P$ es una permutación.

Si $A \in M_{n,n}(\mathbb F)$ es invertible, entonces a $A = UPB$ donde $U$ es unipotentes triangular superior, $B$ es triangular superior y $P$ una matriz de permutación.

  • Una sugerencia que se da es que uno podría relacionar el problema elemental de fila y columna de las operaciones.

Sé que si $A$ es invertible, entonces podemos fila reducir el $A$$I_n$, y esto corresponde a una secuencia de matrices elementales $E_1, \ldots, E_n$.

También se $\det(A) = \det(U) \det(P) \det(B)$, lo que implica que la diagonal entradas de $B$ debe ser distinto de cero.

Supongo que la permutación de la matriz corresponde a la columna de intercambio.

enter image description here

3voto

user15381 Puntos 32

Esta es una vuelta de tuerca a la norma de reducción de Gauss que produce una triangular inferior y una superior triangular factor.

Denotar por $E_{ij}$ de la matriz en la que todos los coeficientes son cero excepto el que está en la intersección de las $i$-ésimo de la línea y el $j$-th columna, igual a $1$. Denotar por $T_{ij}(\lambda)$ el transvection matriz $I_n+\lambda E_{ij}$, y por $R_i(\lambda)$ el reescalado de la matriz $I_n+(\lambda-1)E_{ii}$. Denotar por $\cal T$ el grupo de triangular superior invertible, matrices, y por $\cal U$ el subgrupo de $\cal T$ que consta de el unipotentes.

Para cualquier invertible $A$, ${\cal C}={\cal U}A{\cal T}$ es un dos caras coset en el que $\cal U$ actúa sobre la izquierda y $\cal T$ hechos en el derecho. Estamos buscando una permutación de la matriz dentro de $\cal C$.

Dado $0\leq r\leq n$, decir que una matriz $A=(a_{ij})$ $r$normalizado iff los hay de distintos índices de $i_1<i_2<\ldots<i_r$ tal que para cualquier $k\in\lbrace 1,2,\ldots,r \rbrace$ , $i_k$- th línea tiene todas sus entradas igual a cero, excepto para el $k$-th uno, igual a $1$, y el $k$-ésima columna tiene todas sus entradas iguales a cero, excepto para el $i_k$-th uno, igual a $1$ (puede interpretar esto como decir que un determinado menor de $A$ es la identidad).

Por lo tanto, cualquier matriz es $0$-normalizado, y un $n$normalizados de la matriz es la misma cosa como una matriz de permutación. El uso de la inducción, por lo tanto, suficiente para mostrar el siguiente lema :

Lema Si $A$ $r$normalizados de la matriz con $r<n$, entonces su coset ${\cal C}={\cal U}A{\cal T}$ contiene un $(r+1)$normalizados de la matriz.

La prueba del lema Considerar el $(r+1)$-ésima columna de a $A$. Sabemos que todas las entradas en los índices de $i_1,\ldots,i_{r}$ son cero. Por otro lado, las entradas no son todos cero desde $A$ es invertible. Vamos, a continuación, $i_{r+1}$ ser el mayor índice de satisfacción de $a_{i_{r+1},(r+1)} \neq 0$. Multiplicar por un adecuado reescalado de la matriz $R_{r+1}(\lambda)$ a la derecha, podemos suponer que $a_{i_{r+1},(r+1)}=1$. Para cualquier $i<i_{r+1}$, $i\not\in \lbrace i_1,\ldots,i_{r}\rbrace$, multiplicando por la izquierda por el transvection $T_{i,i_{r+1}}(\lambda)$ adecuado $\lambda$, podemos suponer que $a_{i,r+1}=0$. Esto asegura que el $(r+1)$-ésima columna de a $A$ es como deseamos que sea. Del mismo modo, para cualquier $j>r+1$, multiplicando a la derecha por el transvection $T_{r+1,j}(\lambda)$ adecuado $\lambda$, podemos suponer que $a_{i_{r+1},j}=0$. Esto asegura que el $i_{r+1}$-ésimo de la línea de $A$ es como deseamos que sea. Ahora $A$ es totalmente $(r+1)$normalizada, la cual termina la prueba.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X