Comprender la periodicidad de una función exponencial compleja

Question

En los reales, $e^{nx}$ explota hasta el infinito muy rápidamente. Pero, $e^{inx}$ está acotado y es periódico.

Conozco la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x +i\sin x$ . Sin embargo, ¿podríais intuir qué ocurre en la transición de los reales a los complejos al multiplicar por $e^i$ ?

Gracias.

Answer 1

He aquí una interpretación física: Imagina que una partícula está dentro $\Bbb C$ donde su posición se describe paramétricamente por $\mathrm V(t)$ , donde $t$ significa tiempo. Definir con precisión

$$\mathrm V(t)=e^{it}.\tag{1}$$

Ahora recordemos de la física que el vector velocidad $\mathrm Z(x)$ de esta partícula tiene una dirección y longitud dadas por la velocidad instantánea, y la dirección instantánea del movimiento (tangente a la trayectoria) de la partícula en movimiento. Recordemos también que

$$\begin{align*} \dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\mathrm V(x) &=\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}e^{it}\\ &=ie^{it}\\ &=i\mathrm V(x)=\mathrm Z(x).\tag2 \end{align*}$$

Esto significa que el vector velocidad no es más que el vector posición girado por un ángulo recto (recuerde que la multiplicación por $i$ en el plano complejo es una rotación por $\tfrac{\pi}{2}$ ). Dado que la posición inicial es $e^{i0}=e^0=1$ y por tanto su velocidad inicial es $i$ . Un momento después la partícula se habrá movido muy ligeramente en esta dirección, y su nueva velocidad será perpendicular a su nuevo vector de posición. Si seguimos construyendo este movimiento, veremos rápidamente que se trata de un ciclo. Y como $|\mathrm V(t)|=1$ , se deduce por $(2)$ que $|\mathrm Z(t)|=1$ . Por lo tanto, después de algún tiempo $t=\theta$ la partícula habrá recorrido una distancia $\theta$ alrededor del círculo unitario, por lo que

$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\,\sin\theta.\tag3$$

$\qquad\qquad\qquad$

Fuente: Tristan Needham, Análisis Visual Complejo , pp.10-2.

---

Se preguntará por qué esto es precisamente para $e$ por qué no para $2$ ¿o alguna otra constante? La respuesta se reduce a la propiedad fundamental de la función exponencial que es que satisface

$$\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}f(kx)=kf(kx),$$

por lo que satisface $(2)$ y el argumento es el siguiente.

Answer 2

Ya se ve la periodicidad cuando se piensa en $n \mapsto i^n$ .

$$\begin{align} i^0 & = 1 \\ i^1 & = i \\ i^2 & = -1 \\ i^3 & = -i \\ i^4 & = 1 \\ & {}\,\vdots \end{align}$$ Si uno puede imaginar tal cosa como $\log_e i$ entonces esto diría $n\mapsto e^{n\log_e i}$ es periódica con periodo $4$ y es claramente una función exponencial de $n$ . Si se definiera para los no enteros $n$ entonces sus valores para reales no enteros $n$ tendría que tener un valor absoluto $1$ . ¿Cuál es, por ejemplo, su valor cuando $n=1/10$ ? Está claro que tendría que ser un $10$ raíz de $i$ por lo que si la multiplicación por $i$ es un $90^\circ$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, entonces sería una $9^\circ$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj --- por lo tanto una multiplicación por $\cos9^\circ+i\sin9^\circ$ . Ahora empezamos a ver el movimiento circular.

Pero, ¿a qué velocidad debe moverse alrededor del círculo? Como $\left.\dfrac d {dz} e^z\right|_{z=0}=1$ tenemos que cuando $z=0$ entonces $e^{0+dz}= 1 + 1\cdot dz$ . Si $dz$ es un infinitesimal imaginario puro, esto dice $e^{0+dz}$ está directamente por encima o por debajo de $1$ en el avión. Pero, ¿a qué distancia por encima o por debajo? Claramente $|dz|$ es decir, la velocidad a la que se mueve es $1$ veces el ritmo al que $z$ se mueve a lo largo del eje imaginario.

Eso dice el uso que $e^{i\theta}$ debe tratar $\theta$ como en radianes, de modo que la longitud del arco es igual a $\theta$ . ${{}}$

Answer 3

Primero: Has cometido un error

Creo que tu falta de intuición podría estar causada por el siguiente error:

$$e^{ix} \neq e^i\cdot e^x$$

Por supuesto, si este fuera el caso, $e^{ix}$ también explotaría.

¿Qué impide que explote?

$e^{x}$ para el real o el complejo $x$ es definido por

$$e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} = 1 + x + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + \cdots$$

Esto explica lo que ocurre en la transición de lo real a lo imaginario $x$ . En el caso de que sea real y positivo $x$ se trata de una serie de términos positivos que aumentan con $x$ y soplar como $x\rightarrow\infty$ . Si $x$ es imaginario, por ejemplo $x=iy$ con $y\in\mathbb R$ entonces la propia definición de $i$ ( $i^2=-1$ , lo que es imposible para los números reales) hará que la mitad de los términos sean negativos. Si realmente escriba esto terminas con

$$e^{iy} = \cos y + i\sin y$$

Esto demuestra que los términos negativos impiden que la función explote.

Periodicidad

El seno y el coseno son definido como las componentes primera y segunda de un punto del círculo unitario. Así, la función es periódica y si se interpreta un número complejo como un punto del plano 2D se obtiene exactamente ese círculo unitario.

Answer 4

La exponencial goza de la propiedad "suma-producto",

$$e^{z+w}=e^ze^w,$$ del que se extrae por inducción

$$e^{nw}=(e^w)^n.$$

Esto explica por qué la función "sopla" para los reales (para $w>0$ , $e^w>1$ y se obtiene una secuencia geométrica creciente).

Pero resulta que en el complejo, hay números tales que

$$e^w=1$$ (a saber $w=2ik\pi$ ). Con tal $w$ , usted tiene

$$e^{nw}=(e^w)^n=1$$ para los enteros $n$ y esto explica el comportamiento periódico.

---

En el plano complejo, la multiplicación por $e^{x+iy}$ es la combinación de una escala por el factor $e^x$ y una rotación por el ángulo $y$ .