Calcula la solución general y la solución específica de la siguiente ecuación diferencial: $(3y - 1)^2) (y'^2) = 4y$

Question

Calcula la solución general y la solución específica de la siguiente ecuación diferencial: $(3y - 1)^2 (y')^2 = 4y.$

La solución general es $(x + C)^2 = y(y - 1)^2$ y el específico es $y = 0$ .

He intentado reescribirlo como $y' = \dfrac{2y}{3y + 1}$ pero no sé qué hacer a continuación.

Answer 1

Tienes $\displaystyle y'=\frac{2\sqrt y}{3y-1}$

Por lo tanto, $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2\sqrt y}{3y-1}$

$\displaystyle\implies\int \frac{3y-1}{2\sqrt y}dy=\int dx$

$\implies\displaystyle \frac{3}{2}\int\sqrt y-\frac{1}{2}\int\frac{dy}{\sqrt y}=x+C$

$\implies \displaystyle y^{\frac{3}{2}}-y^{\frac{1}{2}}=x+C$

Elevando al cuadrado ambos lados obtenemos

$y^3+y-2y^2=(x+C)^2\implies y(y-1)^2=(x+C)^2$